黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章（10.4）对面积的曲面积分

第四节对面积的曲面积分 概念的引入 巴二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法 四、小结思考题

、概念的引入 庄实若曲是光滑的它的面密度为连 续函数p(x,y,孔),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动 20 上页

一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动

生二、对面积的曲面积分的定义 1定义设曲面是光滑的,函数f(xy,在 王上有界把分成小块S△S同时也表示 王第小块曲面的面积),设点(5,m,)为S上 牛任意取定的点作乘积/(5,7,5)AS, 并作和∑f(5,;51)AS,如果当各小块曲面 牛的直径的最大值→0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲配上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 上页

二、对面积的曲面积分的定义 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , )  i i  i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f    Si , 并作和=  n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y,z)在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义

记为(xy,x)△ ∑ 上即f(x,2)ds=m∑(5,m,5AS i=1 王其中(xy3)被积函数,x叫积分曲面 2.对面积的曲面积分的性质 工工工 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ及∑2,则 f(x,y,z)S=f(x,y,z)d+f(x,y,z2S ∑ ∑ 上页

即   f (x, y,z)dS i i i n i =  f i S = → lim ( , , ) 1 0     记为   f (x, y,z)dS.   f (x, y,z)dS =     + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其 中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面

三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 1.若曲面Σ:z=z(x,y) f(x,y,)ds NfIx,y,a(x,DK1+ix+y dxdy, 上页

三、计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy  x y = +  +    f (x, y,z)dS 1. 若曲面  : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：

庄5甲厘z:=(x-) 则∫f(xy,)S ∑ FiX, J(x, 2), zl 1+y*2+y2drdz; 庄3.若曲面x:x=x(y2) 则∫∫(x,:ds ∑ =∫1x(,1+x2+xd y 上页

[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz  x z = +  +   f ( x, y,z )dS 2. 若曲面 : y = y(x,z) 则 [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz  y z = +  +   f ( x, y,z )dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则

例1计算∫(x+y+x)d,其电为平面 y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 2:z=5-y 工工工 投影域: Dy={(x,y)|x2+y2s25} 上页

计算  (x + y + z)ds, 其中 为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例 1 积分曲面 ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y 

S=1+x2+12y =√1+0+(-1)dz=√2khy, 故∫(x+y+) ∑ =2/x+y+5-p)d=2j(5+x)dh D y D =2+ryh=1252元 上页

  故 (x + y + z)ds  = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy =  + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr   =  +   5 0 2 0 2 (5 cos ) = 125 2. dS z z dxdy x y 2 2 = 1+  +  dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy

例2计算∫gzs, 其中Σ为抛物面z=x2+y2(0≤z≤1) 解依对称性知: 抛物面z=x2+y2 关于z轴对称, 被积函数xyz关于 x0z、y0z坐标面对称 0.5 0.5 有=4成立,(21为第一卦限部分曲面) ∑ ∑1 上页

例 2 计算 xyz dS   | | , 其中  为抛物面 2 2 z = x + y （0  z  1）. 解 依对称性知： 被积函数| xyz |关于 xoz、 yoz 坐标面对称 关于 轴对称， 抛物面 z z x y 2 2 = + 有    = 1 4 成立，(1为第一卦限部分曲面) x y z

ds 1+ 2 z y dxdy 王=1+(2x2+(2y2np 庄原式z|S=4』1zS ∑ =4xy(x2+y)1+(2x)y+(2y)ad 牛其中Du=(x,y)1x2+y2 ,y≥0} 上页

dS z z dxdy x y 2 2 = 1+  +  x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式  xyz dS  = | |  xyz dS  = 1 4 xy x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 )   其中 {( , )| 1 2 2 D xy = x y x + y  , x  0, y  0}