《线性代数》第一章 n阶行列式

第一章 n阶行列式 上页 下页

上页 下页 n 阶行列式 第一章

§1全排列及逆序数 定义1由1,2,∴,组成的一个有序数组称为 个n级全排列(简称排列)。 定义2在一个排列中,如果两个数(称为数对)的 前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的 数,那么称它们构成一个逆序(反序)。一个排列 中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 个排列,/…的逆序数,一般记为,…)上页 下页

上页 下页 §1 全排列及逆序数 定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为 一个n 级全排列（简称排列）。 定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的 前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列 中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 一个排列j1 , j2 ,…,jn的逆序数，一般记为 (j1 , j2 ,…,jn )

排列12的逆序数为0, 排列21的逆序数为1, 排列231的数对21、31均构成逆序,而23不够成逆序, 因此排列231的逆序数为2 排列213的逆序数是1 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为 奇数的排列称为奇排列。 上页 下页

上页 下页 排列12的逆序数为0， 排列21的逆序数为1， 排列231 的数对21、31均构成逆序，而23不够成逆序， 因此排列231的逆序数为2。 排列213的逆序数是1。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为 奇数的排列称为奇排列

§2行列式的定义 定义4设有n2个数a(i,j=1, 排成正方阵形式 a 12 21 22 2 1 在不同行、不同列中取n个数作乘积m1n2;…,并乘 以符号(-1)(其中J为列标排列jny…i的逆序数),记 上页 为(-1)×a1a21,…am,这样的乘积有n!项 下页

上页 下页 §2 行列式的定义 定义4 设有n 2个数aij（i，j＝1，2，…, n）， 排成正方阵形式 n n nn n n a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 在不同行、不同列中取n个数作乘积 ，并乘 以符号 （其中J为列标排列j1 , j2 ,…,jn的逆序数），记 为 ，这样的乘积有 项。 njn a j a j a 1 2 1 2 J (−1) njn j j J a a a 1 2 1 2 (−1)  n!

它们的和∑(-1ya1an…am 1∵J 称为n阶行列式。 2 1na1称为行列式的元素 记为 21 2n 此式称为阶行列式的 展开式或行列式的值 n2 12 In D 21 2=∑(ya12n n 上页 n2 nn 下页

上页 下页 ( ) n n j nj j j j J a a a  2 1 它们的和  −1 1 1 2 称为n阶行列式。 记为 n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 aij称为行列式的元素 ( ) n n j nj j j j J n n nn n n a a a a a a a a a a a a D         2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = =  −1 展开式或行列式的值 此式称为n阶行列式的

例计算4阶行列式 00 D 21 22 000 31 32 33 41 42 44 解:根据定义,D是4!=24项的代数和,但每 项的乘积a122a32a只要有一个元素为0,乘积 就等于0,所以只需展开式中不明显为0的项。 行列式展开式中不为0的项只可能是an2g3a4 而列标排列1234的逆序数为0,即此项符号为正, 因此行列式D=a1a2a3a 上页 下页

上页 下页 例 计算4阶行列式 4 1 4 2 4 3 4 4 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a D = 解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 中只要有一个元素为0，乘积 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。 n a1 j a2 j a3 j a4 j 3 2 1 行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44， 而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正， 因此行列式D＝a11a22a33a44

行列式中,从左上角到右下角的直线称为主对角线。 主对角线以上的元素全为零(即时元素a1=0) 的行列式称为下三角行列式,它等于主对角线上各 元素的乘积 主对角线以下的元素全为0(即时元素a;=0) 的行列式称为上三角行列式,它等于主对角线上 各元素的乘积。 行列式中,除对角线上的元素以外,其他元素全为 零(即时元素a=0)的行列式称为对角行列式, 它等于对角线上元素的乘积 上页 下页

上页 下页 主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij ＝0） 的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上 各元素的乘积。 行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij ＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积

例证明 (-1y2"ana2n1…an1an n-11an-1.2 上面的行列式中,未写出的元素都是0。 证:行列式的值为∑(-1)a1a21…an 排列远2…远n只能是排列n(mn-)…21 它的逆序数为J=(n-1)+(n-2)+…+2+1 (n-1) 上页 下页

上页 下页 例 证明 ( ) 1 2, 1 1,2 1 2 ( 1) 1 1,1 1,2 1 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a − − − − − = −      上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 行列式的值为 ( ) n n j nj j j j J a a a  2 1  −1 1 1 2 排列j 1 j 2…jn只能是排列n(n－1)…21， 它的逆序数为 ( ) 2 1 ( 1) ( 2) 2 1 n n J n n − = − + − ++ + =

所以行列式的值为 n(n一 (-1) 0 D 1222 32 31 00 000 上页 下页

上页 下页 所以行列式的值为 ( ) ( ) 1 2, 1 1,2 1 2 1 1 n n n n n n a a − a − a − −  1 4 2 3 3 2 4 1 4 1 3 1 3 2 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 4 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a D = =

§3对换 定义5排列中,将某两个数对调,其余的数不动, 这种对排列的变换叫对换,将相邻两数对换,叫做 相邻对换(邻换) 定理1一个排列中的任意两数对换, 排列改变奇偶性。 定理2n阶行列式的项可以写成 S+T p1q2m2的2 Pnan 其中S与7分别是n级排列p2xn与q2…n的逆序数。 上页 下页

上页 下页 §3 对 换 定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。 定理2 n阶行列式的项可以写成 ( ) p q p q pn qn S T a a a 1 2 2 2 1 + − 其中S与T分别是n级排列p1 p2…pn与q1 q2…qn的逆序数