《线性代数》第四章 线性方程组

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上页 下页 线性方程组 第四章

§1消元法 定理1初等变换把一个线性方程组变为一个与它 同解的线性方程组 定义1线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方 程组的系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做增 广矩阵。 设线性方程组 ax tax+ta x=b x1+a2x2+…+a2nxn=b2 +ax2+…+ax.=b 上页 下页

上页 下页 §1 消元法 定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它 同解的线性方程组。 定义1 线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方 程组的系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做增 广矩阵。 设线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

系数矩阵是 A=/a2 21 2 L 增广矩阵是 11 B a,m b b 对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初 等变换相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初 等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化 简它的增广矩阵。 上页 下页

上页 下页 系数矩阵是               = a a a a a a a a a m m mn n n A ... ............ ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 增广矩阵是               = b b b a a a a a a a a a m m mn m n n B 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ... ............ ... ... 对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初 等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初 等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化 简它的增广矩阵

例解线性方程组|x1+x2+x3=1, 3 x1+-x,+3x2=3, 4 2x1+-x2+5x2=2. 3 解增广矩阵是 √533行分别乘以1/2)和(2)加到第二行 交换矩阵第一行与第二行,再把第 B=1 3 52 和第三行,再把第二行乘以(-2)得 3 上页 下页

上页 下页 例 解线性方程组          + + = + + = + + = 5 2. 3 4 2 3 3, 3 5 1, 3 1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解 增广矩阵是                 = 5 2 3 4 2 3 3 3 5 1 1 1 3 1 2 1 B 交换矩阵第一行与第二行,再把第一 行分别乘以(-1/2)和(-2)加到第二行 和第三行,再把第二行乘以(-2)得

在B1中将 5 33 333第二行乘 3 B,=0111 B,=011 以2加到 001-2 第三行得 相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组: 5 +3x2=3 3 3 回代得x3=2,x2=3,x1=4 上页 下页

上页 下页               − − − = 0 2 1 4 0 1 1 1 3 3 3 5 1 B1 在B1中将 第二行乘 以2加到 第三行得               − = 0 0 1 2 0 1 1 1 3 3 3 5 1 B2 相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组:        = − + = + + = 2 1 3 3 3 5 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 回代得 x3 =-2,x2=3,x1=4

§2线性方程组有解判别定理 定理2设A是一个m行n列矩阵 12 n 100 0 1r+1 0 C ≥0 2 通过矩阵的行初 等变换能把4化000…1 r≤n 为以下形式 0 0 上页 下页

上页 下页 §2 线性方程组有解判别定理 定理2 设A是一个m行n列矩阵             = m m mm n n a a a a a a a a a A ... ............ ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 通过矩阵的行初 等变换能把A化 为以下形式                       + + + 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 2, 1 2 1, 1 1                       r r m r n r n C C C C C C r n r m r    , 0

由定理2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等 变换化为: 15F+1 29+1 00 ● 1c-,r+1 0 ●●●● 0 d ●●● ● ●● 电.● 0 d 与之相应的线性方程组为 上页 下页

上页 下页 由定理2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等 变换化为:                       + + + + m r r r n r n n d d c r c d c r c d c r c d 0 .... .... ..... ....... ..... 0 .... ..... .... .... .... ..... ..... ..... 0 ..... ..... ..... ..... ... 0 0 0 ... 1 , 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 ... 0 , 1 ... 1 0 ... 0 , 1 ... 1 2 2 2 1 1 1 与之相应的线性方程组为

x1十 ++C,X.=d 2,r+1r+1 ann 其解与原方程组相同 x+Cr,+1x+1+…+Cmn=dr (1)若dn+n,d12…,dn中有一个不为0,方程组无解, 那么原方程组也无解 (2)若dr+d2…,dn全为0,则方程组有解那么原 方程组也有解 上页 下页

上页 下页              = = + + + = + + + = + + + = + + + + + + + m r r r r r r n n r r r n n r r n n d d x c x c x d x c x c x d x c x c x d 0 0 1 , 1 1 2 2, 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1      其解与原方程组相同。 (1)若dr+1,dr+2,…,dm中有一个不为0,方程组无解, 那么原方程组也无解 (2)若dr+1,dr+2,…,dm全为0,则方程组有解,那么原 方程组也有解

定理3(线性方程组有解的判别定理线性方程组有解的 充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r。 (1)当r等于方程组所含未知量个数n时, 方程组有唯一的解 (2)当rm时,方程组有无穷多解 线性方程组无解的充分必要条件是系数矩阵4的秩 与增广矩阵B的秩不相等。 在方程组有无穷 1,r+1r+1 In'n 多解的情况下,方x2=2-c2+1x1-…c2nxn 程组有m-个自由 上页 未知量,其解为 ,r+1r+1 rn n 下页

上页 下页 定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组有解的 充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r。 (1)当r等于方程组所含未知量个数n时, 方程组有唯一的解; (2)当r<n时,方程组有无穷多解。 线性方程组无解的充分必要条件是系数矩阵A的秩 与增广矩阵B的秩不相等。 在方程组有无穷 多解的情况下,方 程组有n-r个自由 未知量,其解为 r r r r r r n n r r n n r r n n x d c x c x x d c x c x x d c x c x     = − − = − − = − − + + + + + + , 1 1 2 2 2, 1 1 2 1 1 1, 1 1 1

其中xrpx+2y…xn,是自由未知量若给一组数 n,就得到方程组的一组解 1,r+11 In'n-r n -I x=d -c+l 上页 下页

上页 下页 其中xr+1,xr+2,…,xn是自由未知量,若给一组数 l 1 ,l2 ,…,ln-r就得到方程组的一组解              = = = = − − = − − = − − − + + + − + − + − n n r r r r r r r r n n r r n n r r n n r x l x l x l x d c l c l x d c l c l x d c l c l      2 2 1 1 , 1 1 2 2 2, 1 1 2 1 1 1, 1 1 1