黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.3）二重积分的应用

第三节二重积分的应用 问题的提出 四二、曲面的面积 巴三、平面薄片的重心 四四、平面薄片的转动惯量 巴五、平面薄片对质点的引力 四六、小结思考题

一、问题的提出 A把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)da的形式, 牛其中(x)在d内,这个(x,)称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=』(x,)lo D 上页

一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为  = D U f (x, y)d dU

庄三、曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 卫星 内,且可近似认为是圆轨道.通 h 讯卫星运行的角速率与地球自转 工工工 的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R, 问卫星距地面的高度应为多少? c通讯卫星的覆盖面积是多大? 上页

实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z

1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xoy面上的投影区域为D, 如图,设小区域do∈D, dA 点(x,y)∈d ∑为S上过M(x,y,f(x,y) (x,y) J o 的切平面 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈ds 上页

１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d  D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z    则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s  o 

do为dA在xoy面上的投影,do=d4.c0sy, COSY= +f2+ 2 J A=、1+f2+∫2曲面s的面积元素 工工工 A=』1+厂2+fdo, D 曲面面积公式为:A=1+()2+()ad D 上页

d 为dA 在 xoy 面上的投影,  d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z      = + + 2 2 1 ( ) ( )

同理可得 王2·设曲面的方程为:x=8(y) 曲面积公式为:4=∫1+()+()d; D 3.设曲面的方程为:y=h(,x) 曲面面积公式为:A= ∫1+()+()d dzdx D 上页

３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y      = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x      = + + 同理可得

例1求球面x2+y2+x2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A1 D1:x2+y2≤ax(x,y≥0) 工工工 曲面方程z=√a2-x2-y, 2 0.5 于是1+(A)+(=x二 上页

例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y  ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z     + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y  0)

面积A=4√1+x2+xn2xd 中y DI 4 del rdr √a2-r =2ma2-4a

面积A z z dxdy D =  + x + y 1 2 2 4 1  − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a    − =   cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2 = a − a

例2求由曲面x2+y2=0z和z=2a-√x2+y2 (a>0)所围立体的表面积 解解方程组 x ty =az z=2a-x2+y2 2 2 2 得两曲面的交线为圆周 r ty=a Z=( 在x平面上的投影域为Dy:x2+y2≤a2, 由z=(x2+y2)得x 2x y 上页

例 2 求由曲面x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a  0)所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2    = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2    = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y  a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y =

2x 2 2 1 y 1 √a+4x+4y, 由z=2a-x2+y2知1+zx2=2 故S= 1 √a2+4x2+4y2dxo d+∫√2dd D y 2兀 de a2+4r2.rlbr+√2ma2 0 0 2 =(62+55-1 6 上页

+ + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1        +      + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy  = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy  + 2 a r rdr a d a =  +     0 2 2 2 0 4 1 2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 + −  = a