黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 常微分方程（12.12）微分方程的幂级数解法

第十二节微分方程的幂级数解法 巴一、问题的提出 d=f(x,y)特解求法 dx 阶齐次线性方程幂级数求法 四四、小结思考题

问题的提出 尽例如 x ty, 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法; 工工工 卡比逐次逼近法; 数值解法 上页

一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 数值解法. 卡比逐次逼近法;

二、4=f(x,y)特解求法 王问题求少=f(x满足川==的特解 王其中f(x,y=2a+a1x-x)+a1(y-y) +…+an(x-xn)(y-yn)” 牛择腿半圈让冲x一世新藏 y=y+a1(x-x0)+a2(x-x0)+… 其中a1,a2…,an,…为待定的系数 上页 圆

二、 f ( x, y ) 特解求法 dx dy = 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x= x = ( ) ( ) . ( , ) ( ) ( ) 0 0 00 10 0 01 0 l m l m a x x y y f x y a a x x a y y + + − − = + − + −  其中 , 假设所求特解可展开为 x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + , , , , . 其中a1 a2  an 为待定的系数

例1求=x+y2满足y-=0的特解 db 解x。=0,y=0, 设y=a1x+a2x2+a3x3+…+anx"+…, y=a1+2a2x+33x2+…+nUny+…, 将y,y的幂级数展开式带入原方程 +2a x+3a2x2+4a1x3+ 2 =x+(1x+a2x2+a3x+a4x+ 2 王页下

| 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解  x 0 = 0 ， 0 , y 0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 将 y, y的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 +4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) 2 3 , 2 1 3 1 y = a1 + a2 x + a x ++ nan xn− + 例 1

=x+a2x2+2a1a2x3+(a2+2a43)x+ 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0,“22’马=0,n4=0,a。,… 1 20 庄所求解为y= 220 小结:无初始条件求解 可设p=C+∑anx”(C是任意常数) n 上页

, , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 =  . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + = x + a1 2 x 2 + 2a1 a2 x 3 + (a2 2 + 2a1 a3 )x 4 + 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得 小结: 无初始条件求解   = = + n 1 n 可设 y C an x (C是任意常数)

生三、二阶齐次线性方程幂级数求法 王定理如果方程y+P()y+(y=0中的系数 中P(x)与Q(x)可在-R<x<R内展为的幂级数 那么在一R<x<R内原方程必有形如 工工工 y=∑anx =0 c的解 上页

如果方程y  + P( x) y + Q( x) y = 0中的系数 P(x)与Q(x)可在− R  x  R内展为x 的幂级数, 那么在− R  x  R内原方程必有形如 n n n y a x  = = 0 的解. 定理 三、二阶齐次线性方程幂级数求法

c作法设解为y=∑anx" H=0 将P(x),Q(x),f(x)展开为x-x0的幂级数, A比较恒等式两端的同次幂的系数,确定 王例求方程y-y-y=的解 解设方程的解为y=∑anx", 王则y2=∑ma,x, 上页

作法 , 0   = = n n 设解为 y a n x 将 P(x),Q(x), f (x) 展开为 x − x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 求方程 y − xy − y = 0的解. , 0 n n y a n x  = 解 设方程的解为 = 例2 , 1 0 −  =  =  n n 则 y na n x

∑m(n-1)anx=∑(n+2)n+1)a n+2 n=1 将y,y3,y"带入y"-xy'-y=0, E E(n+2)(+1)am2*xEna, 2a,"=0, =0 0 n ∑(n+2)n+1)un2-(n+1anx"≡0 n+2 = 0,1,2, n+ 2 上页

2 1 ( 1) −  =  =  − n n y n n an x 将 y, y , y 带入 y − xy − y = 0, ( 2)( 1) , 0 2 n n  n n a n x  = = + + + 0, 0 −  =  = n n a n x 1 0 −  = −  n n x nan x n n  n n an x  = + + + 0 2 ( 2)( 1) [( 2)( 1) ( 1) ] 0, 0  + + 2 − +   = + n n n n a n n a n x , 2 2 + + = n a a n n n = 0,1,2, 

2 8 2kk!24 3 15 2k+1 (2k+1) 原方程的通解 k=1,2,3, 2n 2n+1 1x y=an∑ +a1∑ n=0 2"n!h=0(2n+1)! (an,a是任意常数) 上页

, 3 1 3 a a = , 15 1 5 a a =  , (2 1)!! 1 2 1 + + = k a a k k = 1,2,3,  , 2 0 2 a a = , 8 0 4 a a =  , ! 2 0 2k k k a a = 原方程的通解    =  + = + = + 0 2 1 1 0 2 0 2 ! n (2 1)!! n n n n n x a n x y a ( , ) a0 a1是任意常数

庄四、小结微分方程解题思路 作变换 分离变量法 非非 一阶方程 全微分方程积分因子厂变全 量微 作降 可分 变阶 常数变易法 分方 换 离程 牛高阶方程一特征方程法 幂级数解法 待定系数法 上页

四、小结 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子