《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第七章 土坡稳定分析

第七章土坡稳定分析第一节概述土坡就是具有倾斜坡面的土体（图7-1）。由自然地质作用所形成的土坡称为天然土坡。由人真而形成的坡则称为人土坡。土体重量以及渗透力等皮体内引起剪如果剪应力大于土的抗剪强度，就要产生剪切破坏。如果靠坡面处剪切破坏的面积很大，则将产生一部分土体相双持孕势一需分主体适动的现聚是这主型塞秘为盘造指清动坡面的长度比滑玻深度大很无限长汽玻口长滑坡和有限长滑坡。多，成大平板形状的滑动（图长滑坡是指滑动面的长度与滑坡深度的尺度相当（图7-2a），而有7-2b)线而形状接两个以上平面组成的折交滑动面。粘性土中的滑坡深入坡体内，均质粘性土坡滑动面的形状为对数螺线曲面，在计算中通常以圆弧面代替（图7—土石坝是常见的大型人工土坡，它是近代坝工建筑中广泛应用的一种坝型。目前土石坝的坝高已达到300m以上高土石坝的土石方量巨大，因此选择安全可靠而又经济合理的断面就是一个十分重要的问题。一座高100m的土坝（图7-6），如果上、下游坝坡能从1：2.5减小到1:2.0，每一延米断面可#省土方量5000m3。一公里坝长就可节省土方500万rm，这是巨大的工程量。然而能否节省取决于边坡是否能保持稳定。因此，土坝边坡稳分析是土石坝设计中的一项重要的内容。上都是采用实践中基骤是先假定破坏是沿土体内某一确定的滑动面滑动，根据滑裂土体的静力平衡条件和摩尔-库伦破坏准及和病糖免要素酸及能低甲多关病的性然后系统地选取多个可能的滑动面口信安全系数的大小用后滑动面。第二节无粘性土坡的稳定分析、均质干坡和水下坡均质干坡和水下坡指由一种土组在水位以下，没有渗透水流作用件水的无粘性土坡。这两种情况只要坡面上的土颗粒在重力作用下能够保持稳定，整个坡就处样定状态从砂堆坡面上取一小块土体来分析它的稳定条件图（77a）。设小土体的重量为W，W沿坡面的滑动力T=Wsinα。垂直于坡面的正压力N=Wcosα，正压力产生摩擦阻力，阻抗土体下滑，称抗滑力，其值为R=Ntgp=Wcosα·tgp（库伦定理）。定义土体的稳定安全系数F,为:抗滑力_R_Wcosa·ig!_g(7-1)F,=滑动力Wsinatga土的内摩擦角（°）：式中，（一土的坡度角（°）式（7-1）与土坡的高度无关，因此安全系数F,代表整个边坡的安全度于砂在松散状态时的内摩擦角。如是经过压密1时，α=Φ，α称为天然休止角，其值等于后的无粘性土，内摩擦角增大，稳定坡角也随之增大。二、有渗透水流的均质土坡挡水土堤内形成渗流场，如果浸润线在下游坡面逸出，这时在浸润线以下，下游坡内的土体除受重力作用外，还受渗透力的作用，因而会降低下游边坡的稳定性。先分析浸润线逸出点以下部分边坡的稳定性（图7-8）。如果水流的方向与水平面成夹角9，则沿水流方向的渗透力i=i。在坡面上取土体V中的土骨架为隔离体，其有效重量为V。分析这块土骨架的稳定性，作用在土骨架上的总渗透力为J=jV=,iV。沿坡内的全部滑动力，包括重力和渗透力，为T =yV sin α+y,iV cos(α-0)坡面的正压力为

1 第七章 土坡稳定分析 第一节 概述 土坡就是具有倾斜坡面的土体（图 7-l）。由自然地质作用所形成的土坡称为天然土坡。由人 工开挖或回填而形成的土坡则称为人工土坡。土体重量以及渗透力等在坡体内引起剪应力，如果 剪应力大于土的抗剪强度，就要产生剪切破坏。如果靠坡面处剪切破坏的面积很大，则将产生一 部分土体相对于另一部分土体滑动的现象，这一现象称为滑坡。 滑坡可分为半无限长滑坡和有限长滑坡。半无限长滑坡是指滑动坡面的长度比滑坡深度大很 多，成大平板形状的滑动（图 7-2a），而有限长滑坡是指滑动面的长度与滑坡深度的尺度相当（图 7-2b）。粗粒土中的滑坡，一般为深度较浅而形状接近于平面或者由两个以上平面组成的折线形 滑动面。粘性土中的滑坡深入坡体内，均质粘性土坡滑动面的形状为对数螺线曲面，在计算中通 常以圆弧面代替（图 7－3）。 土石坝是常见的大型人工土坡，它是近代坝工建筑中广泛应用的一种坝型。目前土石坝的坝 高已达到 300m 以上。 高土石坝的土石方量巨大，因此选择安全可靠而又经济合理的断面就是一个十分重要的问题。 一座高 100m 的土坝（图 7－6），如果上、下游坝坡能从 1：2.5 减小到 1：2.0，每一延米断面可 节省土方量 5000m3。一公里坝长就可节省土方 500 万 rn3，这是一个巨大的工程量。然而能否节 省取决于边坡是否能保持稳定。因此，土坝边坡稳定分析是土石坝设计中的一项重要的内容。 在边坡稳定分析中，目前工程实践中基本上都是采用极限平衡法。极限平衡法的一般步骤是 先假定破坏是沿土体内某一确定的滑动面滑动，根据滑裂土体的静力平衡条件和摩尔-库伦破坏准 则计算沿该滑裂面滑动的可能性，即安全系数的大小，然后系统地选取多个可能的滑动面，用同 样方法计算稳定安全系数或破坏概率。安全系数最低或破坏概率最高的滑动面就是可能性最大的 滑动面。 第二节 无粘性土坡的稳定分析 一、均质干坡和水下坡 均质干坡和水下坡指由一种土组成、完全在水位以上或完全在水位以下，没有渗透水流作用 的无粘性土坡。这两种情况只要坡面上的土颗粒在重力作用下能够保持稳定，整个土坡就处于稳 定状态。 从砂堆坡面上取一小块土体来分析它的稳定条件图（7－7a）。设小土体的重量为 W，W 沿 坡面的滑动力 T =W sin 。垂直于坡面的正压力 N =W cos ，正压力产生摩擦阻力，阻抗土 体下滑，称抗滑力，其值为 R = Ntg = W cos • tg （库伦定理）。定义土体的稳定安全系数 Fs 为： (7 -1) sin cos tga t g W a W a t g T R Fs   = • = = = 滑动力 抗滑力 式中，—土的内摩擦角（0）； —土的坡度角（0） 式（7－1）与土坡的高度无关，因此安全系数 Fs 代表整个边坡的安全度。 当 Fs=1 时，=，称为天然休止角，其值等于砂在松散状态时的内摩擦角。如是经过压密 后的无粘性土，内摩擦角增大，稳定坡角也随之增大。 二、有渗透水流的均质土坡 挡水土堤内形成渗流场，如果浸润线在下游坡面逸出，这时在浸润线以下，下游坡内的土体 除受重力作用外，还受渗透力的作用，因而会降低下游边坡的稳定性。先分析浸润线逸出点以下 部分边坡的稳定性（图 7－8）。如果水流的方向与水平面成夹角  ，则沿水流方向的渗透力 j i w =  。在坡面上取土体 V 中的土骨架为隔离体，其有效重量为 V '  。分析这块土骨架的稳定 性，作用在土骨架上的总渗透力为 J = jV =  w iV 。沿坡内的全部滑动力，包括重力和渗透力， 为 T =  V sin  +  iV cos( −) w 坡面的正压力为

N =yVcosα-uiv sin(α-0)土体沿坡面滑动的稳定安全系数F,Nig_ [osa-ivsi(α-0)g(7-2)'V sin α+yuiV cos(α-)式中，一渗透坡降；二土体的浮容重：Yw—水的容重;Φ一土的内摩擦角。若水流在逸出段顺坡面流动，即θ=α。这时，流经途径ds的水头损失为dh，故有_ dh - sin O = sin α(7-3)将式（7-2）和Q-α=0条件代入式（7-2），得y'Vcosa.igoF,=yVsina+r,Vsinay.cosa.tgd_.tgd(7-4)Ysar sinαYatga由此可见，当逸出段为顺坡渗流时，安全系数降低一倍，通常一约为0.5，即安全系数有渗流逸出时的坡角比没有渗流时（式（7-1）降低一一半。因此要保持同样的安全度，王下游坝址处设置排水棱体，使渗透水流齐全理接从下游坡面逸出（图7-9）。这时下游坡面虽然没有浸润线逸出，但下游坡内、浸润线以下的土体仍然受渗透力的作用。这种渗透力是一种滑动力，它将降低从浸润线以下通过的滑动面的稳定性。这时深层滑动面（如图7-9中虚线所示）的稳定性可能比下游坡面的稳定性差，即危险的滑动面向深层发展。这种情况下，除了要按前述方法验算坡面的稳定性外，还应该用圆弧滑动法验算深层滑动的可能性三、部分浸水土水库部分蓄水时，水位以上是干坡，水位以下则是浸水坡。水位上下，土的容重从天然容量变成浮容重。主相同果但对于深入坡内的滑动面（图7-10a中的ADC面），由于滑动土体上部的容重大，滑动力大下部的容重小，抗滑力小显然稳定性比干坡或完全水下坡差，因此危险滑动面可能向坡内发用骨动。这种部分浸水坡的稳定分析，在工程上常将滑动面这种情况必需同时验算表面滑动和深层滑假定为两段直线组成的折线形滑动面。折点的高程常定在水位处（图7-10a）力平衡法分析折线形滑坡体的稳定性。力平衡法是极限平衡法的一种，其特点是静力平衡条件中只考虑本是否移滑而不考虑是否转动。这时作用在滑动土体上的力系只须满足主向量等于0的平衡条件即艺F=0和F=0，而不考虑是否满足力矩平衡条件假定作用在折线滑动面上的正压力分别为Ni、N2（图7-10b）。根据稳定安全系数的定义，滑动面上的抗剪力可分别表示为7Ng4和T，=N.ig。滑动土体上待定的未知量为Ni、N2和安全系数而滑动土体力的平衡方程只有两个，是一个超静定的课题成两个块体，这样可以建立4个力的平衡方程。但块体从折点处竖直切开471是原来DE面上的内力P在块体切开后变成外力，因而又增加了两个未知量，即P:和Pi的方向e，仍然是超静定问题。为使问题可解，必须做某种假定以减少未知量的数目。通常的做法是假定Pi的方向：或者假定PI的方向是水平向，或者是平行于内坡DC，或者平行于外坡BE；还可以假定ED也是滑裂面，此时Pi与ED的法线成夹角Φ，Φ为土的内摩擦角。今假定 Pi与内坡 DC 平行。考虑块体 BCDE 的平衡，有P=W sin α --(W, cosa, ·igg)(7-5)式中，Wi—块体BCDE的重量：

2 N =  V cos − iV sin( −) w 土体沿坡面滑动的稳定安全系数 (7 - 2) sin cos( ) [ cos sin( )]              + −  − − = = V iV V iV tg T Ntg F w w s 式中，i—渗透坡降；  —土体的浮容重； w  —水的容重；  —土的内摩擦角。 若水流在逸出段顺坡面流动，即  = 。这时，流经途径 ds 的水头损失为 dh，故有 = = sin  = sin  (7 - 3) ds dh i 将式（7－2）和  − = 0 条件代入式（7－2），得 (7 - 4) sin cos sin sin cos ' ' ' '                tg tg tg V r V V tg F sat sat w s = • • = + • = 由此可见，当逸出段为顺坡渗流时，安全系数降低 sat   ' 倍，通常 sat   ' 约为 0.5，即安全系数 降低一半。因此要保持同样的安全度，有渗流逸出时的坡角比没有渗流逸出时（式（7－1））的 要平缓得多。为了使设计经济全理，工程上一般要在下游坝址处设置排水棱体，使渗透水流不直 接从下游坡面逸出（图 7－9）。这时下游坡面虽然没有浸润线逸出，但下游坡内、浸润线以下的 土体仍然受渗透力的作用。这种渗透力是一种滑动力，它将降低从浸润线以下通过的滑动面的稳 定性。这时深层滑动面（如图 7－9 中虚线所示）的稳定性可能比下游坡面的稳定性差，即危险的 滑动面向深层发展。这种情况下，除了要按前述方法验算坡面的稳定性外，还应该用圆弧滑动法 验算深层滑动的可能性。 三、部分浸水土坡 当水库部分蓄水时，水位以上是干坡，水位以下则是浸水坡。水位上下，土的容重从天然容 量变成浮容重。如果水位上下土的内摩擦角不变（式（7－1）），则整个坡面主体的稳定性相同。 但对于深入坡内的滑动面（图 7－10a 中的 ADC 面），由于滑动土体上部的容重大，滑动力大； 下部的容重小，抗滑力小，显然稳定性比干坡或完全水下坡差，因此危险滑动面可能向坡内发展。 这种情况必需同时验算表面滑动和深层滑动。这种部分浸水坡的稳定分析，在工程上常将滑动面 假定为两段直线组成的折线形滑动面。折点的高程常定在水位处（图 7-10a）。 采用力平衡法分析折线形滑坡体的稳定性。力平衡法是极限平衡法的一种，其特点是静力平 衡条件中只考虑土体是否移滑而不考虑是否转动。这时作用在滑动土体上的力系只须满足主向量 等于 0 的平衡条件即 Fx = 0和Fz = 0 ，而不考虑是否满足力矩平衡条件。 假定作用在折线滑动面上的正压力分别为 N1、N2（图 7－10b）。根据稳定安全系数的定义， 滑动面上的抗剪力可分别表示为 Fs N tg T 1 1 1  = 和 Fs N tg T 2 2 2  = 。滑动土体上待定的未知量为 N1、 N2 和安全系数 Fs，而滑动土体力的平衡方程只有两个，是一个超静定的课题。 将块体从折点处竖直切开（图 7-10c），变成两个块体，这样可以建立４个力的平衡方程。但 是原来 DE 面上的内力 P1 在块体切开后变成外力，因而又增加了两个未知量，即 P1 和 P1 的方向， 仍然是超静定问题。为使问题可解，必须做某种假定以减少未知量的数目。通常的做法是假定 P1 的方向：或者假定 P1 的方向是水平向，或者是平行于内坡 DC，或者平行于外坡 BE；还可以假定 ED 也是滑裂面，此时 P1 与 ED 的法线成夹角  ， 为土的内摩擦角。 今假定 P1 与内坡 DC 平行。考虑块体 BCDE 的平衡，有 ( cos ) (7 - 5) 1 1 1 sin 1 1 1 1 W t g F P W s = − • 式中，W1—块体 BCDE 的重量；

b.一水位以上土的内摩擦角然后分析块体EDA沿 AD面滑动的稳定性，将P:和重力W2分别沿AD面分解为切向力和法向力，算出滑动力和抗滑力，从而得到安全系数的表达式为F,=[ sin(a-α,)+W,cosa, go.(7-6)P cos(α,-α,)+W, sin a,式中Φ,为水位以下土的内摩擦角。用选代法解式（7一5）和式（7一6），求得的安全系数Fs就是沿CD和DA面滑动的安全系数。但是滑动面 CD 和 DA 是任意假定的，因此得到的安全系数不能代表整个边坡的稳定性。这必须假定各种不同的水位以及各种折角α1、α2进行多个滑动面计算，以确定最危险的水位高程和最不利的滑动面位置，得到最小的安全系数，才是真正的边坡稳定安全系数。第三节粘性土坡的稳定分析粘性土的抗剪强度由摩擦强度和粘聚强度两个组成部分。由于粘聚力的存在，粘性土坡不会像无粘性土坡一样沿坡面表面滑动。在粘性土坡坡面上选取一薄片土体进行稳定性分析。如果这土体有一定的面积，但厚度是一个微量，则重量和由此而产生的滑动力也是一个微量。在抗滑中，摩擦力虽然是微量，而粘聚力则因为有一定的面积因此较大。稳定安全系数等于抗滑力除打H以滑动力，因此稳定安全系数很大，说明不会沿边坡表面滑动。危险的滑动面必定深入土体内部。根据土体极限平衡理论，可以推导出均质粘性土坡的滑动面为对数螺线曲面，形状近似于圆柱面，为圆弧面。现场滑理论推断。因止的程设计中常定滑动面为圆弧面。建立在这一假定上的稳定分析方法称为圆弧滑动法，是极限平衡法的一种常用分析方法。一、整体圆弧滑动法均质的粘性土坡（图7-13），AC为滑动圆弧，为圆心，R为半径。假定边坡失去稳定就是滑动土体绕圆心发生转动。把滑动土体当厅个刚体，滑动土体的重量W将使土体绕圆心O 旋转，转动力矩为M=Wd，d为过滑动土体重心的竖直线与圆心O的水平距离。抗滑力矩Ms由两部分上粘聚力产生的抗滑力矩，其值为℃·AC·R，℃为土的粘聚组成项具洁动土体重量在滑动面上的反力所主的抗力矩。反力的大小和方向的内困擦角中值有关。但是因为滑动面上反力的分布无法确定，因此对于Φ>0的土，此处无法求得摩擦力所产生的抗滑力矩。滑动面是一个光滑面，反力的方向必定垂直于滑动而对于=0 的土即通过圆心O，不产生力矩，因此抗滑力矩只有℃·AC·R一项。这时稳定安全系数可用下式定抗滑力矩_MR-C·AC·RF(7-8)滑动力矩MWd公式（7-8）只适用于=0的土。条分法的基本概为了将圆弧用于>0的粘性王，分注就是将滑百分片若干土条，把土条当成刚体分别求作用于各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，然后按式（7-8）求士的稳定安全系数手土条后，土条的两个侧面存在着条块间的作用力（图7-14）。作用在滑动土十体分成条块i的力，除重力W,外，条块侧面ac和bd作用有法向力P和P.、切向力H,和H+以及法向力的作用点离弧面的高度 h:和 hi+。滑弧段 cd的长度为l，其上作用着法向力 N;和切向力T，T中包括粘聚阻力cil和摩擦阻力Nitg（库伦定理）。由于条块的宽度不大，W；和N：可以看成作用于弧段cd的中点。在这些力中，P、N和h在分析前一土条时已经出现，可视为已知量，因此待定的未知量有 PiI、NiI、hi+I、N:和 T:共 5 个。每个土条可建立三个力的平衡方程，即ZF,=0.ZF,=0和ZM,=0以及一个极奥平衡方程下,-N48g,+C/如果把滑动土体分成n个条块，则条块间的分界面有（n-1）个。界面上力（即Pi、Nl知量为2n，加上待求的安系数F滑动面总计未知量个数为（5n-2）。可以建立的静力平衡方程和极限平衡方程为4n个。待求未知量与方

3 1—水位以上土的内摩擦角。 然后分析块体 EDA 沿 AD 面滑动的稳定性，将 P1 和重力 W2 分别沿 AD 面分解为切向力和法 向力，算出滑动力和抗滑力，从而得到安全系数的表达式为 (7 - 6) cos( ) sin [ sin( ) cos ] 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2        P W P W tg Fs − + − + = 式中 2 为水位以下土的内摩擦角。 用迭代法解式（7－5）和式（7－6），求得的安全系数 Fs 就是沿 CD 和 DA 面滑动的安全系 数。但是滑动面 CD 和 DA 是任意假定的，因此得到的安全系数不能代表整个边坡的稳定性。还 必须假定各种不同的水位以及各种折角1、2 进行多个滑动面计算，以确定最危险的水位高程和 最不利的滑动面位置，得到最小的安全系数，才是真正的边坡稳定安全系数。 第三节 粘性土坡的稳定分析 粘性土的抗剪强度由摩擦强度和粘聚强度两个组成部分。由于粘聚力的存在，粘性土坡不会 像无粘性土坡一样沿坡面表面滑动。在粘性土坡坡面上选取一薄片土体进行稳定性分析。如果这 片土体有一定的面积，但厚度是一个微量，则重量和由此而产生的滑动力也是一个微量。在抗滑 力中，摩擦力虽然是微量，而粘聚力则因为有一定的面积因此较大。稳定安全系数等于抗滑力除 以滑动力，因此稳定安全系数很大，说明不会沿边坡表面滑动。危险的滑动面必定深入土体内部。 根据土体极限平衡理论，可以推导出均质粘性土坡的滑动面为对数螺线曲面，形状近似于圆柱面， 在断面上即为圆弧面。现场滑坡体形态的观察也证明了这一理论推断。因此，在工程设计中常假 定滑动面为圆弧面。建立在这一假定上的稳定分析方法称为圆弧滑动法，是极限平衡法的一种常 用分析方法。 一、整体圆弧滑动法 设一个均质的粘性土坡（图 7－13），AC 为滑动圆弧，O 为圆心，R 为半径。假定边坡失去 稳定就是滑动土体绕圆心发生转动。把滑动土体当成一个刚体，滑动土体的重量 W 将使土体绕圆 心 O 旋转，转动力矩为 Ms=Wd，d 为过滑动土体重心的竖直线与圆心 O 的水平距离。抗滑力矩 Ms 由两部分组成：一是滑动面 AC 上粘聚力产生的抗滑力矩，其值为 c·AC·R，c 为土的粘聚 力；另一项是滑动土体重量在滑动面上的反力所产生的抗滑力矩。反力的大小和方向与土的内摩 擦角值有关。但是因为滑动面上反力的分布无法确定，因此对于＞0 的土，此处无法求得摩擦 力所产生的抗滑力矩。而对于=0 的土，滑动面是一个光滑面，反力的方向必定垂直于滑动面， 即通过圆心 O，不产生力矩，因此抗滑力矩只有 c·AC·R 一项。这时稳定安全系数可用下式定 义： (7 -8) Wd c AC R M M F s R s • • = = = 滑动力矩 抗滑力矩 公式（7-8）只适用于=0 的土。 二、条分法的基本概念 为了将圆弧滑动法应用于＞0 的粘性土，通常采用条分法。条分法就是将滑动土体竖直分成 若干土条，把土条当成刚体，分别求作用于各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，然后按 式（7－8）求土坡的稳定安全系数。 把滑动土体分成若干土条后，土条的两个侧面存在着条块间的作用力（图 7－14）。作用在 条块 i 的力，除重力 Wi 外，条块侧面 ac 和 bd 作用有法向力 Pi和 Pi+1、切向力 Hi 和 Hi+1 以及法向 力的作用点离弧面的高度 hi 和 hi+1。滑弧段 cd 的长度为 li，其上作用着法向力 Ni 和切向力 Ti，Ti 中包括粘聚阻力 cili 和摩擦阻力 Nitgi（库伦定理）。由于条块的宽度不大，Wi 和 Ni 可以看成作 用于弧段 cd 的中点。在这些力中，Pi、Ni 和 hi 在分析前一土条时已经出现，可视为已知量，因此 待定的未知量有 Pi+1、Ni+1、hi+1、Ni 和 Ti 共 5 个。每个土条可建立三个力的平衡方程，即 Fxi = 0， Fzi = 0 和 Mi = 0 以及一个极限平衡方程 s i i i i i F N tg c l T + =  。 如果把滑动土体分成 n 个条块，则条块间的分界面有（n-1）个。界面上力（即 Pi+1、Ni+1、 hi+1）的未知量为 3（n-1），滑动面上力（即 Ni 和 Ti）的未知量为 2n，加上待求的安全系数 Fs， 总计未知量个数为（5n-2）。可以建立的静力平衡方程和极限平衡方程为 4n 个。待求未知量与方

程数之差为（n一2）。一般用条分法计算中，n在10以上，因此是一个高次的超静定问题。要使问愿得解，必须建立新的条件方程。因此需对条块间作用力进行简化假定，以减少未知量或增加方程数。目前有许多种条分法，化假定大体上分为其差别就在于不同的简化假定条件。各种简化和简化毕肖普法属于此类：（2）考虑条块间作用个，瑞典条分法仅考虑其日假定条间力的作用方向或规定P：和H.的比值，折线滑动面分析方法属于这一类：（3）假定条块间力的作用位置即规定h;的大小，普遍条分法属于这一类。三、瑞典条分法瑞典条分法假定滑动面是一个圆弧面，并认为条块间的作用力对边坡的整体稳定性影响不大，可以忽略不计，或者说，假定条块两侧的作用力大小相等，相反且作用于同一直线上。取条块i进行分析（图7-15中），由于不考虑条块间的作用力，根据径向力的平衡条件，有N,=W,coso,(7-9)Tr_cl.+N,igd.根据滑弧面上极限平衡条件有工,(7-10)F式中，Ti一条块i在滑动面上的抗剪强度；Fs一滑动圆弧的安全系数注意：式（7-10）中T,+W,sino,，因此条块的力多边形不闭合，即本法不满足条块的静力平衡条件。按整体力矩平衡条件，外力对圆心力矩之和为零。在条块的三个作用力中，法向力N.过圆心不引起力矩。重力W:产生滑动力矩为w,d, -w,Rsine,(7-11)滑动面上抗滑力产生的抗滑力矩为ZTR-ZSL+NAB.R(7-12)因为整体力矩平衡，即M,=0故wd,=,R(7-13)将式（7-11）和式（7-12）代入式（7-13），并进行简化，Zw,Rsin o, =Zcl +W.coso.igoZ(c, +W,cos o,ig.)所以F,-(7-14)w,sin e,这就是最简单的条分法的计算公式。如果将条块i的重力W.沿滑动面分解成切向力T=Wsine.和法向力N,=Wicosoi，切向力对圆心产生滑动力矩M=T,R，法向力引起摩擦力，与滑动面上的粘聚力一起组成抗滑力，产生抗滑力矩MR，引用式（7-8）R.Z(c, +W,coso,ig.)MRARw,sin,ME(cl, +W, coso,igg.)w, sin e,得到与式（7114）完全相同的结果因此，瑞典条分法就是忽略了条块间作用力影响的一种简化方法，它只满足滑动土体整体柜平衡条件而不满足条块的静力平衡条件。此法一般得到的安全系数偏低，即误差偏于安全方面，故目前仍然是工程上常用的方法四、毕肖甫法人圆弧滑动体内取出土条1进行分析（图7-16中）。作用在条块i上的力，除了重力W外，滑动面上有切向力T和法向力Ni，条块的侧面分别有法向力P、Pi+1和切向力HI、Hi+1。若条块处于静力平衡状态，根据竖向力平衡条件，应有

4 程数之差为（n－2）。一般用条分法计算中，n 在 10 以上，因此是一个高次的超静定问题。要使 问题得解，必须建立新的条件方程。因此需对条块间作用力进行简化假定，以减少未知量或增加 方程数。目前有许多种条分法，其差别就在于不同的简化假定条件。各种简化假定大体上分为三 种类型：（1）不考虑条块间作用力或仅考虑其中一个，瑞典条分法和简化毕肖普法属于此类；（2） 假定条间力的作用方向或规定 Pi 和 Hi 的比值，折线滑动面分析方法属于这一类；（3）假定条块 间力的作用位置即规定 hi 的大小，普遍条分法属于这一类。 三、瑞典条分法 瑞典条分法假定滑动面是一个圆弧面，并认为条块间的作用力对边坡的整体稳定性影响不大， 可以忽略不计，或者说，假定条块两侧的作用力大小相等，方向相反且作用于同一直线上。取条 块 i 进行分析（图 7-15 中），由于不考虑条块间的作用力，根据径向力的平衡条件，有 cos (7 - 9) Ni = Wi  i 根据滑弧面上极限平衡条件有 (7 -10) s i i i i s fi i F c l N tg F T T +  = = 式中，Tfi—条块 i 在滑动面上的抗剪强度； Fs—滑动圆弧的安全系数。 注意：式（7－10）中 i i i T  W sin ，因此条块的力多边形不闭合，即本法不满足条块的静 力平衡条件。按整体力矩平衡条件，外力对圆心力矩之和为零。在条块的三个作用力中，法向力 Ni 过圆心不引起力矩。重力 Wi 产生滑动力矩为  = sin (7 -11) Widi WiR i 滑动面上抗滑力产生的抗滑力矩为   • + = R (7 -12) F c l N tg T R s i i i i i  因为整体力矩平衡，即 Mi = 0 故 W d =T R (7 -13) i i i 将式（7－11）和式（7－12）代入式（7－13），并进行简化， (7 -14) sin ( cos ) cos sin     + = + = i i i i i i i s s i i i i i i i W c l W tg F F c l W tg W R       所以 这就是最简单的条分法的计算公式。 如果将条块 i 的重力 Wi 沿滑动面分解成切向力 Ti=Wisini 和法向力 Ni=Wicosi，切向力对圆 心产生滑动力矩 Ms=TiR，法向力引起摩擦力，与滑动面上的粘聚力一起组成抗滑力，产生抗滑力 矩 MR，引用式（7－8） sin ( cos ) sin ( cos )     + = • • + = = i i i i i i i i i i i i i i s R s W c l W tg R W R c l W tg M M F       得到与式（7－14）完全相同的结果。 因此，瑞典条分法就是忽略了条块间作用力影响的一种简化方法，它只满足滑动土体整体力 矩平衡条件而不满足条块的静力平衡条件。此法一般得到的安全系数偏低，即误差偏于安全方面， 故目前仍然是工程上常用的方法。 四、毕肖甫法 从圆弧滑动体内取出土条 i 进行分析（图 7-l6 中）。作用在条块 i 上的力，除了重力 Wi 外， 滑动面上有切向力 Ti 和法向力 Ni，条块的侧面分别有法向力 Pi、Pi+1 和切向力 Hi、Hi+1。 若条块处于静力平衡状态，根据竖向力平衡条件，应有

ZF=0W, + 4H, = N, cose, +T, sin ,所以(7-15)N, coso, = W, +NH, -T, sin 0,根据满足安全系数F，时的极限平衡条件，可得T, =(c.l, + N,g)(7-10)将式（7-10）代入式（7-15），整理后得W,+AH,- sin 0.sineW, +aH, -(7-16)N.cos o, + sn 0igd.malFsin 0,tgd,(7-17)式中，ma=coso,+F考虑整个滑动土体的整体力矩平衡条件，各土条的作用力对圆心力矩之和为零。这时条间力大小相等，方向相反，相互抵消，对圆心不产P:和 Hi成对出防海动通过圆心，也不产生力矩。因此，只有重力W，和滑动面上的切向力T，对圆心产生力矩。按式（713）有Wd,-ETR将式（7-10）代入上式得Zw,Rsn 0,-Z(c/+N,tgg.)R将式（7-16）中的N:代入上式整理后得Z=[c,b, +(W,+AH,)g),](7-18)w, sin e,这就是毕肖甫法土坡稳定计算的一般公式。式中AH-=H++H，仍然是未知量。如果不引进其它的简化假定，式（7一18）仍然不能求解。毕肖进一步假定人H=0，实际上也就是认为条块间只有水平作用力P:而不存在切向力H。于是式（7-18）进一步简化为Z[c,b, +W,tgg.](7-19)F.:w, sin e,此式称为简化毕肖甫公式。式中参数moi包含有安全系数F，不能直接求出安全系数，因此需要采用算的办法，选代求算Fs值。试算时，可先假定F=1.0，由图7一17查出各0.所相应的mgi值。代入式（7一19）中，求得皮的安全系数F，。若F与Fs之差大于规定的误差，用F，查ni，再次计算出安全系数F”功这样反复选代次计算的安全系数满足规定精度的要求为1直全前瑞典条分法相比，简化毕肖甫法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条件，就是说，隐含着块间有水平力的作用，虽然在公式中水平作用力并未出现。所以它的特点（2）满足各条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩满足整体力矩平衡条平衡条件：（3）假设条块间作用力只有法向力没有切向力：（4）满足极限平衡条件。由于考虑条块间水平力的作用，得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。由于计算不很复杂，精度较高，所以是目前工程中很常用的一种方法五、普条分法（简布法）条块间水平作用力的位置。在这一前提下，每个条块都满足全部静普遍条分法的特点是假定条极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也自然得到满足，而且它适用于任何件和一个圆弧面，所以称为普遍条分法滑动面而不必规定滑动面是从滑动土体ABC中取任意条块i进行静力分析(图7-18)。按静力平衡条件F=0得：

5 cos sin (7 -15) 0 cos sin i i i i i i z i i i i i i N W H T F W ΔH N T     = +  −  = + = + 所以 根据满足安全系数 Fs 时的极限平衡条件，可得 ( ) (7 -10) 1 i i i i s i c l N tg F T = +  将式（7－10）代入式（7－15），整理后得 sin (7 -16) 1 sin cos sin         = +  − + +  − = i s i i i i i s i i i i s i i i i i F c l W H m F t g F c l W H N       式中， (7 -17) sin cos s i i i i F tg m    =  + 考虑整个滑动土体的整体力矩平衡条件，各土条的作用力对圆心力矩之和为零。这时条间力 Pi 和 Hi 成对出现，大小相等，方向相反，相互抵消，对圆心不产生力矩。滑动面上的正压力 Ni 通过圆心，也不产生力矩。因此，只有重力 Wi 和滑动面上的切向力 Ti 对圆心产生力矩。按式（7 －13）有 Widi =TiR 将式（7-10）代入上式得  =  c l + N tg R F W R i i i i s i i ( ) 1 sin   将式（7-16）中的 Ni 代入上式整理后得 (7 -18) sin [ ( ) ] 1   + +  = i i i i i i i i s W c b W H t g m F    这就是毕肖甫法土坡稳定计算的一般公式。式中Hi=Hi+1＋Hi，仍然是未知量。如果不引进 其它的简化假定，式（7－18）仍然不能求解。毕肖甫进一步假定Hi=0，实际上也就是认为条块 间只有水平作用力 Pi 而不存在切向力 Hi。于是式（7－18）进一步简化为 (7 -19) sin [ ] 1   + = i i i i i i i s W c b W tg m F    此式称为简化毕肖甫公式。式中参数 mi 包含有安全系数 Fs，不能直接求出安全系数，因此 需要采用试算的办法，迭代求算 Fs 值。 试算时，可先假定 Fs=1.0，由图 7－17 查出各i 所相应的 mi 值。代入式（7－19）中，求得 边坡的安全系数 Fs’。若 Fs’与 Fs 之差大于规定的误差，用 Fs’查 mi，再次计算出安全系数 Fs’’， 这样反复迭代计算，直至前后两次计算的安全系数满足规定精度的要求为止。 与瑞典条分法相比，简化毕肖甫法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条 件，就是说，隐含着条块间有水平力的作用，虽然在公式中水平作用力并未出现。所以它的特点 是：（1）满足整体力矩平衡条件；（2）满足各条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩 平衡条件；（3）假设条块间作用力只有法向力没有切向力；（4）满足极限平衡条件。由于考虑 了条块间水平力的作用，得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。由于计算不很复杂，精度较高， 所以是目前工程中很常用的一种方法。 五、普遍条分法（简布法） 普遍条分法的特点是假定条块间水平作用力的位置。在这一前提下，每个条块都满足全部静 力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也自然得到满足，而且它适用于任何 滑动面而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以称为普遍条分法。 从滑动土体 ABC 中取任意条块 i 进行静力分析(图 7－18)。按静力平衡条件 Fz = 0 得：

W,+AH, = N,cose, +T, sine即N,cose,=W+H-Tsine,(7-15)按ZF,=0得：(7-20)△P, = T, coso, -N, sin 0,将式（7-15）代入式（7-20）整理后得AP-(csα+)W+AH,)g(7-21)coso.根据极限平衡条件，考虑安全系数F，T,=÷(cl+N,g0)(7-10)由式（7-15）得：N,"coso,-(W,+AH, -T, sin o,)(7- 22)代入式（7-10），整理后得：- e e(7- 23)1+ 1g0,g0F.将式（7-23）代入式（7-21）得AP, =.sec*e., (7-24)图7-19表示作用在条块侧面的法向力P，显然有P=P+P=P,P=P+P,=P+AP，依此类推，有P-P,(7-25)若全部条块的总数为n，则有P,-AP,=0(7-26)将式（7-24）代入式（7-26）得sec* o,[c., coso, +(W,+H,)igg.]-Z(W,+AH,)igo, =02F1+4900180F整理后得sec0e,F =Z(W, +AH,)igo.Z[e,b +(W, + H,)igg,].m(7-27)Z(W, + AH,)sn 0,18）和简布公式（7一27），两式只是分母有差当惠公式（毕肖甫公式是根滑动面为圆弧面、滑动土体满足整体力矩平衡条件推导出的：简布公式则是利用力的多边形闭合和极限平衡条件、最后从之4P，=0得出。显然，这些条件适用于任何形式的滑动面而不仅限于圆弧面。在式（7-27）中，AH:仍然是待定的未知量。毕肖甫没有解出面AH，让AH=0成为简化毕肖甫公式。而简布法则利用条块的力矩平衡条件，因而整个滑动土体的整体力矩平衡也自然得到满足。6

6 Wi + Hi = Ni cos i +Ti sin 即 cos sin (7 -15) Ni  i = Wi + Hi −Ti  i 按 Fx = 0 得： cos sin (7 - 20) Pi = Ti  i − Ni  i 将式（7-15）代入式（7－20）整理后得 ( ) (7 - 21) cos sin cos 2 i i i i i i i i P T W H t g    − +           = + 根据极限平衡条件，考虑安全系数 Fs ( ) (7 -10) 1 i i i i s i c l N tg F T = +  由式（7－15）得： ( sin ) (7 - 22) cos 1 i i i i i Ni W H T   = +  − 代入式（7－10），整理后得： (7 - 23) 1 ( ) cos 1 1 s i i i i i i i i s i F t g t g c l W H t g F T     +       + +  = 将式（7－23）代入式（7－21）得 [ cos ( ) ] ( ) (7 - 24) 1 1 sec 2 i i i i i i i i i s i i i s i c l W H t g W H t g F F t g t g P       + +  − +  +  = • 图 7-19 表示作用在条块侧面的法向力 P，显然有 P1 = P0 + P1 = P1，P2 = P1 + P2 = P1 + P2 ，依此类推，有 (7 - 25) 1 = =  i j Pi Pj 若全部条块的总数为 n，则有 = =  = n i Pn Pi 1 0 (7 - 26) 将式（7－24）代入式（7－26）得   + +  − +  = • + cos ( ) ( ) 0 1 1 sec 2 i i i i I i i i i s i i i s c l W H t g W H t g F F t g t g       整理后得     (7 - 27) ( )sin 1 ( ) ( ) 1 / sec cos ( ) 2     +  + +  • = +  + • + +  • = i i i i i i i i i i i i i i s i i i i i i i s W H m c b W H t g W H t g t g t g F c l W H t g F          比较毕肖甫公式（7－18）和简布公式（7－27），两式只是分母有差别。毕肖甫公式是根据 滑动面为圆弧面、滑动土体满足整体力矩平衡条件推导出的；简布公式则是利用力的多边形闭合 和极限平衡条件、最后从 0 1  = n pi 得出。显然，这些条件适用于任何形式的滑动面而不仅限于 圆弧面。在式（7－27）中，Hi 仍然是待定的未知量。毕肖甫没有解出面Hi，而让Hi=0 成为 简化毕肖甫公式。而简布法则利用条块的力矩平衡条件，因而整个滑动土体的整体力矩平衡也自 然得到满足

将作用在条块上的力对条块滑弧段中点0,取矩（图7-18b），并令Mo=0。重力W：和滑弧段上的力N：和T均通过O，不产生力矩。条块间力的作用点位置已确定（图7-18b），故H+(H,+H)-(P+AP)(h +h-X,1go.)+P(h-X,go)=0略去高阶微量整理后得H,AX, - P,.Ah, -AP,.h, = 0A+AP所以H,=P岁(7-28)此外，有AH,=H-H(7-29)式（7—28）表示条块间切向力与法向力之间的关系由公式（7-24）至公式（7-29），利用选代法可以求得普遍条分法的边坡稳定安全系数。其步骤如下(1）假定AH=0，利用式（7-27），选代求第一次近似的安全系数Fs1《7-24），求相应的AP（对每一条块，从i到n）。（2）将Fs和AH=0代入式（7（3）用式（7-25）求条块间的法向力（对每一条块，将P：和AP.代入式（7-28）和（7-29），求条块间的切向作用力H（对每一条块，从4）1到n）和AH;5）将4H重新代入式（7—27）选代求新的稳定安全系数！如果F,-F>△，A为规定的安全系数计算精度，重新按上述步骤（2）～（5）进行第二轮计算。如此反复进行，直至Fs(b)-F:s(-)≤△为止。 F0的土坡，最危险滑动面的圆心位置可能在图7-24b中DE线的延长段上。DE线的应置按图24b中所示的方法确定。自E点在DE延线上取圆心O1、C过坝脚A分别作圆弧AC、AC、…，并求出相应的安全系数FsI、F。然后用适当的比例尺标在相应圆心点上并连成安全系数F，随圆心位置的变化曲线。曲线的最低点即为圆心在DE线上时安全系数的最小值。但是真正的最危险滑弧的圆心并不一定在DE线上。通过这个最低点，引DE的垂直线FG在FG线上再定几个圆心O、O2、，用类似步骤确定圆心在FG线上时的最小安全系数的圆心，这个圆心才认为是通过坡脚滑出时的最危险滑动圆弧的中心

7 将作用在条块上的力对条块滑弧段中点 Oi 取矩（图 7-l8b），并令 MOi = 0 。重力 Wi 和 滑弧段上的力 Ni 和 Ti 均通过 Oi，不产生力矩。条块间力的作用点位置已确定（图 7－18b），故 有： 0 2 1 2 1 ( ) 2 ( ) 2  =       + − •  •      − +  +  − •  •  + +   i i i i i i i i i i i i i i i P P h h X t g P h X t g X H H X H   略去高阶微量整理后得 (7 - 29) (7 - 28) 0 i i 1 i i i i i i i i i i i i i i H H H X h P X h H P H X P h P h  = −  +    =  − •  −  • = 此外，有 + 所以 式（7－28）表示条块间切向力与法向力之间的关系。 由公式（7－24）至公式（7－29），利用迭代法可以求得普遍条分法的边坡稳定安全系数。 其步骤如下： （1）假定Hi=0，利用式（7－27），迭代求第一次近似的安全系数 Fs1。 （2）将 Fs1 和Hi=0 代入式（7－24），求相应的Pi（对每一条块，从 l 到 n）。 （3）用式（7－25）求条块间的法向力（对每一条块，从 1 到 n）。 （4）将 Pi 和Pi 代入式（7－28）和（7－29），求条块间的切向作用力 Hi（对每一条块，从 1 到 n）和Hi。 （5）将Hi 重新代入式（7－27），迭代求新的稳定安全系数 Fs2。 如果 Fs2 − Fs1  ，为规定的安全系数计算精度，重新按上述步骤（2）~（5）进行第二轮 计算。如此反复进行，直至 Fs(k ) − Fs(k−1)   为止。Fs(k)就是该假定滑动面的安全系数。边坡的 真正安全系数还要计算很多滑动面，进行比较，找出最危险的滑动面，其安全系数才是真正的安 全系数。可编制计算机程序进行计算，流程框图见图 7－20。 注：（1）圆心 O 下的条块号码取为 0。逆滑动方向取正，顺滑动方向取负。 （2）土条宽度 b 一般取圆弧半径的 1/10。 （3）当滑体两端土条的宽度不等于 b 时，可将该图条的实际高度折算成假定宽度为 b 时的高 度，即 hi ’=(bihi)/b（即假定折算后的面积等于实际面积）。 （4）从图中量出各土条中心线的高度 hi。 （5）量出或计算出滑弧中心角，然后计算滑弧的长度 li=(/180)··R。 （6）边侧土条夹角的计算（如例 7-3）：sin4=(3.5b+0.5b4)/R=(3.5*9.82+0.5*5.8)/43.5=0.857 七、最危险滑裂面的确定方法 以上是计算某个位置已确定的滑动面的稳定安全系数的几种方法。这一安全系数并不代表边 坡的真正稳定性，因为滑动面是任意取的。假设一个滑动面，就可计算其相应的安全系数。真正 代表边坡稳定程度的安全系数是安全系数中的最小值。相应于最小的安全系数的滑动面称为最危 险滑动面，它才是真正的滑动面。 确定最危险滑动面圆心的位置和半径大小是稳定分析计算中最繁琐、工作量最大的工作。需 要通过多次的计算才能完成。利用费伦一纽斯经验方法可以较快地确定最危险滑动面的位置。 费伦纽斯认为，对于均匀粘性土坡，最危险滑动面一般通过坡脚。在=0 法的边坡稳定分析 中，最危险滑弧圆心位置可以由图 7－24a 中1 和2 夹角的交点确定。1 和2 的值与坡角大小的 关系可查表 7－4。 对于>0 的土坡，最危险滑动面的圆心位置可能在图 7－24b 中 DE 线的延长段上。DE 线的 位置按图 7－24b 中所示的方法确定。自 E 点在 DE 延线上取圆心 O1、O2.，通过坝脚 A 分别作 圆弧 AC1、AC2、.，并求出相应的安全系数 Fs1、Fs2.。然后用适当的比例尺标在相应圆心点上， 并连成安全系数 Fs 随圆心位置的变化曲线。曲线的最低点即为圆心在 DE 线上时安全系数的最小 值。但是真正的最危险滑弧的圆心并不一定在 DE 线上。通过这个最低点，引 DE 的垂直线 FG， 在 FG 线上再定几个圆心 O1’、O2’、. ，用类似步骤确定圆心在 FG 线上时的最小安全系数的 圆心，这个圆心才认为是通过坡脚滑出时的最危险滑动圆弧的中心