《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第三章 土体中的应力计算

第三章土体中的应力计算第一节概述土受力后产生应力和变形。在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形，从而使建筑物产生一定的沉降量和沉陷差。如果应力变化引起的变形量在容许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害：但当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生过量的沉降，甚至可以使土你发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基和土工建筑物变形和稳定问题的基础。实生的原因主有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷中力，就具载引起的附加应力。本章将主要介绍自重应力和附加应力的计算方法以及有效应力原理。应力一应变关系的假定于土的应力一应变关系。在计算地基中的附加应力时，常把土当土体中的应力分布取成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。下面就弹性理论应用中的几个问题作一简单讨论，.关千连续介质问题。土是由三相物质组成的非连续介质。但当我们研究性理论中，受力本车实价宏观土体的受力问题时（例如建筑物地基的沉降问题），土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸，可以把土本当作连续体来对待，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。不是纯变关系是非线性的和弹塑性的。即使在很低的应力材而是弹塑性材料情况下，土的应力应变关系也表现出了曲线特性（图3-1），而且在应力卸除后，应变也不完全恢复。但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量A不是很大，距离土的破坏强度尚远，尚没有发生塑性破坏的区域或塑性破坏的区域很小，这种情况下，若将土的应力应变关系简化为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，对一般工程来说不仅是方便的，也是足够准确的关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。均质是指受力体各点的性质相同：等向则是指在同点处的各个方向上性质相同。天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的因此视土体为均质等向将带来误差。但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内二、地基中的几种应力状态一般都将地基当作半无限空间弹性体来考虑，即把地基看作是一个具算地基应力用有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体本（图3一2）。常见的地基中的应力状态有女三种类型：三维应力状态（空间应力状态）局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。维应力状态是建筑物地基中力就是典型的三维空间应力状态（图最普遍的一种应力状态，例如单独柱基础下地基中各点3一3）。这时，每一点的应力都是三个坐标x、y、z的函数，每一点的应力状态都可用9个应a.3力分量（独立的有6个）来表示。写成矩阵形式则为6，=5mOytyTa.622.二维应变状态（平面应变状态）土中二维问题往往都是平面应变问题而不是平面应力问题。当建筑物基础一个方向的尺寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基

1 第三章 土体中的应力计算 第一节 概述 土受力后产生应力和变形。在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传给地基， 使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形，从而使建筑物产生一定的沉降量和沉降 差。如果应力变化引起的变形量在容许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害； 但当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生过量的沉降，甚至可以使土体 发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基和土工建筑物变 形和稳定问题的基础。 土体中的应力，就其产生的原因主要有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷 载引起的附加应力。本章将主要介绍自重应力和附加应力的计算方法以及有效应力原理。 一、应力一应变关系的假定 土体中的应力分布取决于土的应力一应变关系。在计算地基中的附加应力时，常把土当 成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理 论得出应力的解析解。下面就弹性理论应用中的几个问题作一简单讨论。 1．关于连续介质问题 在弹性理论中，受力体是连续介质。土是由三相物质组成的非连续介质。但当我们研究 宏观土体的受力问题时（例如建筑物地基的沉降问题），土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸， 可以把土体当作连续体来对待，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。 2．关于线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。土不是纯 弹性材料而是弹塑性材料，它的应力、应变关系是非线性的和弹塑性的。即使在很低的应力 情况下，土的应力应变关系也表现出了曲线特性（图3－1），而且在应力卸除后，应变也不 能完全恢复。但考虑到一般建筑物荷载在地基中引起的应力增量不是很大，距离土的破坏 强度尚远，土中尚没有发生塑性破坏的区域或塑性破坏的区域很小，这种情况下，若将土的 应力应变关系简化为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，对一般工程来说不仅是 方便的，也是足够准确的。 3．关于均质、等向问题 理想弹性体应是均质的各向同性体。均质是指受力体各点的性质相同；等向则是指在同 一点处的各个方向上性质相同。天然地基往往是由成层土所组成，而且常常是各向异性的， 因此视土体为均质等向将带来误差。但当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引 起的误差，通常也在容许范围之内。 二、地基中的几种应力状态 计算地基应力时，一般都将地基当作半无限空间弹性体来考虑，即把地基看作是一个具 有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体（图3－2）。常见的地基中的应力状态有如 下三种类型。 1．三维应力状态（空间应力状态） 局部荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。三维应力状态是建筑物地基中 最普遍的一种应力状态，例如单独柱基础下地基中各点应力就是典型的三维空间应力状态（图 3－3）。这时，每一点的应力都是三个坐标x、y、z的函数，每一点的应力状态都可用9个应 力分量（独立的有6个）来表示。写成矩阵形式则为           = zx zy zz yx yy yz xx xy xz ij           2．二维应变状态（平面应变状态） 土中二维问题往往都是平面应变问题而不是平面应力问题。当建筑物基础一个方向的尺 寸远比另一个方向的尺寸大得多，且每个横截面上的应力大小和分布形式均一样时，在地基

中引起的应力状态即可简化为二维应变状态，堤坝或挡土墙下地基中的应力状态就属于这一类（图3一4）。这时沿着长度方向切出的住任一xOz截面都可以认为是对称面，应力分量只是z两个坐标的函数，并且沿y方向的应变6,=0。由于对称性，Tw=T,==0。这种应力状态的应[g.0T力矩阵可表示为，=00aw0..T3.侧限应力状态应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于侧限应力状态（图3-由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度Z处的土单元受力条件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。又由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即,=T=T=0，应力矩阵变￥OxrC,=00根据6,=6=0的边界条件可知，=,并与成正比。三、力学中应力符号的规定是散粒体，不能承受拉应力，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定：法向应力以压为正，剪应力方向则规定以逆时针方向为正见（图3一6所示）。第二节土体的自重应力计算一、地基自重应力物之前，地基中由于土体本身的有效重量而产生的应力叫自重应力。所在没有修建建筑谓有效重量就是地下水位以上用自然容重、地下水位以下用浮容重。研究地基自重应力！的是为了确定土体的初始应力状态。如果把地基假定为半无限弹性体，则地基中的自重应力状态属于侧限应力状态1.竖直向自重应力6，斤有竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度z处的竖直向自重由于于应力就等于单位面积上的土柱重量。若2深度内土的天然容重不发生变化时，则该处自重应力应为(3-1)=若地基是由几个不同容重的土层组成时（图3-7a），则任意深度2处的自重应力应为O, =H++H+.-ZH,(3-2)式中，n-地基中的土层数Y一第层土的容重；地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重；H一第层土的厚度。自重应力沿深度成直线分布，在土层界面处和地下水位处将发生转折（见图3－7b）。2.水平向自重应力α、0由于是侧限条件，故8，=6,=0，且=αs。根据广义虎克定律8 =%-(a,+0.)(3-3)H将侧限条件代入式（3-3）得2

2 中引起的应力状态即可简化为二维应变状态，堤坝或挡土墙下地基中的应力状态就属于这一 类（图3－4）。这时沿着长度方向切出的任一xoz截面都可以认为是对称面，应力分量只是x、 z两个坐标的函数，并且沿y方向的应变 y  =0。由于对称性， yx yz  =  =0。这种应力状态的应 力矩阵可表示为           = zx zz yy xx xz ij       0 0 0 0 3．侧限应力状态 侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态，地基在自重作用下的应力状态即属于 侧限应力状态（图3－5）。由于把地基视为半无限弹性体，因此同一深度Z处的土单元受力条 件均相同，土体不可能发生侧向变形，而只能发生竖直向的变形。又由于任何竖直面都是对 称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即  xy =  yz =  zx = 0 ，应力矩阵变 为：           = zz yy xx ij     0 0 0 0 0 0 根据 y  = x  =0的边界条件可知  x =  y 并与  z 成正比。 三、土力学中应力符号的规定 土是散粒体，不能承受拉应力，因此在土力学中对土中应力的正负符号常作如下规定： 法向应力以压为正，剪应力方向则规定以逆时针方向为正见（图3－6所示）。 第二节 土体的自重应力计算 一、地基自重应力 在没有修建建筑物之前，地基中由于土体本身的有效重量而产生的应力叫自重应力。所 谓有效重量就是地下水位以上用自然容重、地下水位以下用浮容重。研究地基自重应力的目 的是为了确定土体的初始应力状态。如果把地基假定为半无限弹性体，则地基中的自重应力 状态属于侧限应力状态。 1．竖直向自重应力  s z 由于土体中所有竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度z处的竖直向自重 应力就等于单位面积上的土柱重量。若z深度内土的天然容重不发生变化时，则该处自重应力 应为 z (3 -1) sz  =  若地基是由几个不同容重的土层组成时（图3－7a），则任意深度z处的自重应力应为 = = + + = n i s z H H iHi 1   1 1  1 1   (3 - 2) 式中，n—地基中的土层数； i  —第i层土的容重；地下水位以上用天然容重  ，地下水位以下用浮容重  ’； Hi—第i层土的厚度。 自重应力沿深度成直线分布，在土层界面处和地下水位处将发生转折（见图3－7b）。 2．水平向自重应力  sx、 sy 由于是侧限条件，故  x =  y = 0 ，且  s x  s y = 。根据广义虎克定律 ( ) (3 - 3) y z x x E E      = − + 将侧限条件代入式（3－3）得

(0, +0,)=0(3 - 4)所以=今Ko=1-V则(3-5)C=0=K0,你K为土的侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比，所以侧限状态又称为Ko状态：v是土的波松比。土坝的自重应力为计算土坝坝身和坝基的沉降，需要知道坝身中和坝底面上的应力分布。由于土坝不是半无限体，其边界条件和坝基的变形条件使得精确求解坝身及坝底应力较为复杂。对于简单的中小型土坝，即可假定坝体中任何一所号起的聚口力等移古杆的量，仍可用式（3-2）计算，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似（见图3）。图3一8b表示某均质土坝用有限元法与用简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其最大误差约为15%。第三节 地基中的附加应力计算对一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地基的沉降，附加应力则修建建筑物以后在地基内新增加的应力，因此它是使地基发生变形、引起建筑物沉降的主要原因。下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的附加应力计算。集中荷载作用下的附加应力计算一）竖直集中力作用一布辛内斯克课题1885年法国数学家布辛内斯克（J.Boussinesqg）用弹性理论推出了在半无限空间弹性体表面上作用有竖直集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力解析解。这是一个轴对称的空间问题，对称轴就是集中力P的作用线，以P作用点O为原点，则M点坐标为x、y、z（如图3-10所示），M点为M点在弹性体表面上的投影。由布辛内斯克得出的M点的6个应力分量和3个位移分量的表达式如下：3P,z3P,(cosB)(3-6a)0.=2元52元R式中，xoy、z——x、y、z方向的法向应力；-M点至坐标原点O的距离-直角三角形OMM中OM和MM的夹角。在上述6个应力分量中，对地基沉降计算意义最大的是竖直法向应力，，下面将主要讨论,的计算及其分布规律。利用图3-10中的几何关系R2=r2+2，式(3—6a)可以改写为3P2·=KP(3-8)0.=2元R1式中

3 = − ( + ) = 0 (3 - 4) sy sz sx x E E      所以 sx sy  sz     − = = 1 令   − = 1 K0 则 (3 - 5)  sx =  sy = K0 sz 称K0为土的侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比， 所以侧限状态又称为K0状态；  是土的波松比。 二、土坝的自重应力 为计算土坝坝身和坝基的沉降，需要知道坝身中和坝底面上的应力分布。由于土坝不是 半无限体，其边界条件和坝基的变形条件使得精确求解坝身及坝底应力较为复杂。对于简单 的中小型土坝，即可假定坝体中任何一点因自重所引起的竖向应力均等于该点上面土柱的重 量，仍可用式（3－2）计算，故任意水平面上自重应力的分布形状与坝断面形状相似（见图3 －8a）。图3－8b表示某均质土坝用有限元法与用简化法计算得到的基底竖直应力的比较，其 最大误差约为15％。 第三节 地基中的附加应力计算 对一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地 基的沉降，附加应力则是由于修建建筑物以后在地基内新增加的应力，因此它是使地基发生 变形、引起建筑物沉降的主要原因。下面介绍地表上作用不同类型荷载时，在地基内引起的 附加应力计算。 一、集中荷载作用下的附加应力计算 （一）竖直集中力作用—布辛内斯克课题 1885年法国数学家布辛内斯克（J．Boussinesq）用弹性理论推出了在半无限空间弹性体 表面上作用有竖直集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力解析解。这是一个轴对称的 空间问题，对称轴就是集中力P的作用线，以P作用点O为原点，则M点坐标为x、y、z（如图3 －10所示），M’点为M点在弹性体表面上的投影。由布辛内斯克得出的M点的6个应力分量和 3个位移分量的表达式如下： (cos ) (3 - 6a) 2 3 2 3 3 5 2 3     R P R P z z = • = 式中，x、y、z ——x、y、z方向的法向应力； R——M点至坐标原点O的距离 ——直角三角形OM’M中OM和MM’的夹角。 在上述6个应力分量中，对地基沉降计算意义最大的是竖直法向应力  z ，下面将主要讨 论  z 的计算及其分布规律。 利用图3-10中的几何关系R 2=r 2＋z 2，式(3一6a )可以改写为 (3 - 8) 1 1 2 3 2 3 5 2 2 2 2 5 3 z P K z P z r R π z π P σ z / • =               + = • = 式中

(3-8a)2元1+(2)7K称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是r/z的函数，可由图3-1或表3—11中查得下面讨论o.的分布特征：1．在集中力P作用线上的6.分布P在P作用线上，r=0，由式（3-8a）及（3—8）可知K=2元。0.-2元号当z=0时，α.=α℃。出现这一结果是由于将集中力作用面积看作零所致。它一方面说明该解不适用于集中力作用点处及其附近，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用点：另一方面也说明在靠近P作用线处应力。很大。当z=α时，0=0可见，沿P作用线上g.的分布是随深度增加而递减，如图3—12所示。2．在r>0的竖直线上的g.分布从公式（3—6a）可知，z=0时β=90，所以，=0：随着z的增加，β变小，cosβ增大，所以，从零逐渐增大：至一定深度后cosβ减小，因此.又随着的z增加逐渐变小，如图3—12中所示3.在z-常数的水平面面上的α.分布0.值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中力作用线上的，减小，而水平面上应力的分布趋于均匀，如图3一12中所示，若在空间将.相同的点连接成曲面，可以得到如图3一13所示的.等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。通过对应力.分布图形的讨论可知，集中力P在地基中引起的附加应力，的分布是向下、向四周无限扩散开自也基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和。4H1曲线a表集中力Pi度水平线引起的应力分布，曲线b表示集中力P2在同一水平线上引起的应力分布，把曲线a和曲线b相加得到曲线c就是该水平线上总的应力水平集中力作用一西罗提课题如果地基表面作用有平行于xoy面的水平集中力P时，求解在地基中任意点M(xyz基本课题，已由西罗提（V.Cerruti）用弹性理论起的应力问题是弹性体内应力计算的桌解出。这里只写出与沉降计算关系最密切的垂直压应力，的表达式：3Phxz(3-9)T2元R5式中符号见图3-15。二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算任何建筑物都要通过一定尺寸的基础把荷载传给地基。基础的形状和基础底面上的压力分布各不相同，但都可以利用前述集中荷载引起的应力计算方法和弹性体中的应力叠加原理，计算地基内任意点的附加应力

4 (3 - 8a) 1 1 2 3 5 2 2 / z r π K               + = K称为集中力作用下的应力分布系数，无因次，是r/z的函数，可由图3－1或表3—11中查 得。 下面讨论  z 的分布特征： 1．在集中力P作用线上的  z 分布 在P作用线上，r= 0，由式（3－8a）及（3一8）可知 2 2 3 , 2 3 z P K σ z = = •   当z=0时，  z = 。出现这一结果是由于将集中力作用面积看作零所致。它一方面说明该 解不适用于集中力作用点处及其附近，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用 点；另一方面也说明在靠近P作用线处应力  z 很大。 当z=时，  z = 0 可见，沿P作用线上  z 的分布是随深度增加而递减，如图3—12所示。 2．在r＞0的竖直线上的  z 分布 从公式（3一6a）可知，z=0时=900，所以  z = 0 ；随着z的增加，变小，cos增大，所 以  z 从零逐渐增大；至一定深度后cos减小，因此  z 又随着的z增加逐渐变小，如图3－12 中所示。 3．在z=常数的水平面面上的  z 分布  z 值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中力作用 线上的  z 减小，而水平面上应力的分布趋于均匀，如图3—12中所示。 若在空间将  z 相同的点连接成曲面，可以得到如图3—13所示的  z 等值线，其空间曲面 的形状如泡状，所以也称为应力泡。 通过对应力  z 分布图形的讨论可知，集中力P在地基中引起的附加应力  z 的分布是向 下、向四周无限扩散开的。 当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后 根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和。图3—14中曲线a表示集中力P1在z深度水平线 上引起的应力分布，曲线b表示集中力P2在同一水平线上引起的应力分布，把曲线a和曲线b相 加得到曲线c就是该水平线上总的应力。 （二）水平集中力作用—西罗提课题 如果地基表面作用有平行于xoy面的水平集中力Ph时，求解在地基中任意点M(x y z)所引 起的应力问题是弹性体内应力计算的另一个基本课题，已由西罗提（V．Cerruti）用弹性理论 解出。这里只写出与沉降计算关系最密切的垂直压应力  z 的表达式： (3 - 9) 2 3 5 3 R P xz h z   = 式中符号见图3－15。 二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算 任何建筑物都要通过一定尺寸的基础把荷载传给地基。基础的形状和基础底面上的压力 分布各不相同，但都可以利用前述集中荷载引起的应力计算方法和弹性体中的应力叠加原理， 计算地基内任意点的附加应力

（一）矩形面积竖直均布荷载地基表面有一矩形面积，宽度为B，长度为L，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为p求地基内各点的附加应力.。现先求出矩形面积角点下的应力，再利用“角点法”求出任意点下的应力1.角点下的应力角点下的应力是指图3-16中O、A、C、D四个角点下任意深度处的应力，只要深度z一样，则四个角点下的应力9都相同。将坐标的原点取在角点O上，在荷载面积内任取微分面积dy，并将其上作用的荷载以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利用式（3-6a）可求出A=dxo该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力doz3(dP) =3-33pdo.=(3-10)2(+y+2)ddyR将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分，即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引起的附加应力3pdxdya(x+y+z2)n7arctgVi+m+n?（m2+n+m2+n(3 -12)=K.p式中，m=二：n=三，其中L为矩形的长边，B为矩形的短边。称K,为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，K,=f(m，n)，可从表3一2中查得。2.任意点的应力一角点法利用角点下的应力计算公式（3-12）和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。角点法的应用可分下列两种情况。第一种情况：计算矩形面积内任一点M力(图3-17a)。过M点将矩形荷载面积abcd分成I、II、IⅢ、IV4个小矩形，深度用M点为4个小矩形的公共角点，则M’点下任意深度z处的附加应力oz(3-13a)GM=(K+K+Ks+Ksv)p第二种情况：计算矩形面积外任一点M下深度为z的附加应力。仍然设法使M’点为几个小矩形的公共角点，如图3-17b，然后将其应力进行代数选加。(3-13b)CM=(KI+K-KKwn上两式sm、Ksw分别为矩形M'hbe、Mfce、Mhag、Mfdg的角点应力分Ksll2布系数，p为荷载强度。在应日角点法计算每一块矩形面积的百为长边（二）矩形面积竖直三角形荷载在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为p，如图3一20所示。把荷载强度为零的角点O作为坐标原点，同样可利用公式（3一6a）和积分方法求出角点O下任意深度点的附加应力a。在受荷面积内。在取微小面积dA-d,，以集中力aP=d,代替作用在其上的分布荷载，则dP在O点下任意点M处引起的竖直附加应力do,应为：do,=3p.-2B(a+y+r ddy(3-14)将式（3-14）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形基础面竖直三角形荷载在零角点O下任意深度z处所引起的竖直附加应力z为

5 （一）矩形面积竖直均布荷载 地基表面有一矩形面积，宽度为B，长度为L，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为p， 求地基内各点的附加应力  z 。现先求出矩形面积角点下的应力，再利用“角点法”求出任意 点下的应力。 1．角点下的应力 角点下的应力是指图3－16中O、A、C、D四个角点下任意深度处的应力，只要深度z一样， 则四个角点下的应力  z 都相同。将坐标的原点取在角点O上，在荷载面积内任取微分面积 dA=dxdy，并将其上作用的荷载以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利用式（3－6a）可求出 该集中力在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力dz： (3 -10) 2 ( ) 3 2 3( ) 2 2 2 5 / 2 3 5 3 dxdy x y z p z R dP z d z + + = =    将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分，即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引起的 附加应力  z ： (3 -12) 1 1 1 2 1 1 2 ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 / 2 3 0 0 K p m n m n n mn n m n m arctg p dxdy x y z p z s L B z =             + + + + + + + + = + + =     式中， B L m = ； B z n = ，其中L为矩形的长边，B为矩形的短边。 称Ks为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，Ks=f(m，n)，可从表3—2中查得。 2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的 方法称为角点法。角点法的应用可分下列两种情况。第一种情况：计算矩形面积内任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17a)。过M’点将矩形荷载面积abcd分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个小矩形， M’点为4个小矩形的公共角点，则M’点下任意深度z处的附加应力zM’为 ' (K K K K ) p (3 -13a)  zM = sI + sII + sIII + sIV 第二种情况：计算矩形面积外任一点M’下深度为z的附加应力。仍然设法使M’点为几个 小矩形的公共角点，如图3-17b，然后将其应力进行代数迭加。 ' (K K K K ) p (3 -13b)  zM = sI + sII − sIII − sIV 以上两式中KsⅠ、KsⅡ、KsⅢ、KsⅣ分别为矩形M’hbe、M’fce、M’hag、M’fdg的角点应力分 布系数，p为荷载强度。在应用角点法计算每一块矩形面积的Ks值时，B恒为短边，L恒为长 边。 （二）矩形面积竖直三角形荷载 在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为pt，如图3－20所示。把荷载强度 为零的角点O作为坐标原点，同样可利用公式（3－6a）和积分方法求出角点O下任意深度点 的附加应力z。在受荷面积内，任取微小面积dA=dxdy，以集中力 dxdy B p x dP t • = 代替作用 在其上的分布荷载，则dP在O点下任意点M处引起的竖直附加应力dz应为： (3 -14) 2 ( ) 3 2 2 2 5 / 2 3 dxdy x y z x z B p d t z + + =   将式（3－14）沿矩形面积积分后，可得出整个矩形基础面竖直三角形荷载在零角点O下 任意深度z处所引起的竖直附加应力z为：

mnp,J2元m2+n?(l+n)1+m2+n(3 -15)= K,P,n?mn式中K,(3-16)2元|m2+n（1+n)/1+m2+n2称K;为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数，其值可由表（3-3）查得，K=-f(m,n)，m=，n=二。注意B是沿三角形荷载变化方向的矩形边长。三、条形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算荷载，而且荷载在各个截面上的分布都相同时，土中的度的无限长条面积承受荷应力状态即为平面应变状态，，这时垂直于长度方向的任力的大小及分布规律面内附加都是相同的1当然没有无限长的荷载面积，与所取截面的位置无关关。实际建筑中当截面荷载面积的延伸长度均≥5B时截面内的应力分布与L/B=αc时土中应立力相差甚少，因此像墙基、路基、挡土墙及堤坝等条形基础，均可按平面问题计算地基中的附加压力。）竖直线布荷载一弗拉曼解在地表面无限长直线上，作用有竖直均布线荷载P（如图3-22），求在地基中任意点M引起的应力。由于是平面问题，需要计算的独立应力分量只有αz、x和txz。在线布荷载上取微分长度dy，作用在上面的荷载p×dy可以看成集中力，则在地基内M点引起的应力按式则3pe2dy2 pz3(3-19)0.=L 2a( +y +2 )元(x2 +23)2按弹性力学方法可推导出2px2(3 -20)a.元(x2+22)32pxz2(3-21)=T元(x2 +22)2上式中心单位长度上的线荷载（kN/m）：其它符号见图3一22所示二）条形面积竖直均布荷载当地基表面宽度为B的条形面积上作用着竖直均布荷载p时（图3-23），地基内任意点M的附加应力αz可利用式（3-19）和积分的方法求得。首先在条形荷载的宽度方向上取微分宽度d，将其上作用的荷载dp=pd=视为线布荷载，则dp在M点引起的竖直附加应力do,按式（3—19）为：2-3(3-23)将式(3-23)沿宽度B积分，即可得整个条形荷载在M点引起的附加应力oz

6 (3 -15) (1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 t t t z K p n m n n m n mnp =         + + + − + =   式中 (3 -16) (1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2         + + + − + = n m n n m n mn Kt  称Kt为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数，其值可由表（3－3）查得，Kt=f （m，n）， B L m = ， B Z n = 。注意B是沿三角形荷载变化方向的矩形边长。 三、条形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算 当一定宽度的无限长条面积承受荷载，而且荷载在各个截面上的分布都相同时，土中的 应力状态即为平面应变状态，这时垂直于长度方向的任一截面内附加应力的大小及分布规律 都是相同的，而与所取截面的位置无关。实际建筑中当然没有无限长的荷载面积，但当截面 两侧荷载面积的延伸长度均  5B时，该截面内的应力分布与 L/ B = 时土中应力相差甚少， 因此像墙基、路基、挡土墙及堤坝等条形基础，均可按平面问题计算地基中的附加压力。 （一）竖直线布荷载—弗拉曼解 在地表面无限长直线上，作用有竖直均布线荷载 p （如图3-22），求在地基中任意点M 引起的应力。由于是平面问题，需要计算的独立应力分量只有z、x和xz。在线布荷载上取 微分长度dy，作用在上面的荷载 p  dy 可以看成集中力，则在地基内M点引起的应力按式 （3-6a）为 dy R pz d z 5 3 2 3   = 则  + − + = + + = (3 -19) ( ) 2 2 ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 5 / 2 3 x z pz x y z pz dy z    按弹性力学方法可推导出 (3 - 21) ( ) 2 (3 - 20) ( ) 2 2 2 2 2 xz 2 2 2 2 x z pxz x z px z zx x + = = + =      上式中 p ——单位长度上的线荷载（kN/m）；其它符号见图3－22所示。 （二）条形面积竖直均布荷载 当地基表面宽度为B的条形面积上作用着竖直均布荷载p时（图3－23），地基内任意点M 的附加应力z可利用式（3－19）和积分的方法求得。首先在条形荷载的宽度方向上取微分宽 度d，将其上作用的荷载 d p = pd 视为线布荷载，则 d p 在M点引起的竖直附加应力dz按 式（3－19）为： (3 - 23) [( ) ] 2 2 2 2 3     pd x z z d z − + = 将式(3-23)沿宽度B积分，即可得整个条形荷载在M点引起的附加应力z

J6 [(x-s+ Pds0.=n(m-1)mn arcig"-arcig"-1+-m2+n2+(m-1)(3-24)=K'p条形均布荷载在地基内引起的水平向应力α，和剪应力也可以根据式（3-20）和式(3—21)积分求得，并简化为o,=Kip(3 -25)(3-26)t=Kep上式中，K、K、Kz分别为条形面积受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数、水平向应力分布系数和剪应力分布系数。其值可按m=云，n=≤的数值由表3-5查得。图3-25（a）、(b)分别表示在宽度均为B的条形面积和方形面积上作用有相同大小的竖直均布荷载p时，在地基内引起的的等值线分布图。两者相比可以看出，它们在地基内引起的0,向下扩散的形式一样，但扩散的速度和应力影响深度则有很大的差别。以,=0.1p等值线作为比较，方形荷载影响深度为2B左右，而条形荷载深度达6B以上，即条形荷载的影响深度远大于方形荷载的影响深度。（三）条形面积其他分布荷载条形面积上其他形式的分布荷载（常见的有竖直三角形分布荷载、水平均布荷载和竖直梯形分布荷载）在地基内引起的应力。.同样可以利用应力叠加原理，通过积分求得。计算公式和计算方法见表3-6。第四节基底压力计算作用在地基表面的各种分布荷载都是通过建筑物的基础传到地基中的。基础底面传递给地基表面的压力为基底压力（或基底接触压力）。、基底压力的分布规律精确地确定基底压力的数值与分布形式是一个很复杂的问题，它涉及上部结构、基础、地基三者间的共同作用问题，与三者的变形特性（如建筑物和基础的刚度、土层的压缩性等）有关。这里仅对其分布规律及主要影响因素进行定性分析。刚度的影为了便于分析，把各础按照与地基土的相对抗弯刚度（EI）分成三种类型。1.弹性地基上的完全柔性基础（EI作用着均布条形荷载时（图3一34a）：假定经过基础传至基底的压力也是均在其的，则根据地基中附加应力的分布规律可知，当地表面作用有均布条形荷载（基底压力）时地基中任意深度水平面上引起的附加应力α，都是中间大、两边小（3-34b）。显然，由此均面沉降也应是中间大两边小的凹形曲面。由于基础完全柔性，抗弯刚度EI=0荷载引起的以，基底压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全可以完全适应地基的变形。所以致，荷载是均布时，基底压力也将是均布的。工程中常把土坝（堤）及以钢板做成的储油罐底板等见为柔性基础。因此，在计算土坝底部的接触压力分布时，可认为与土坝的外形轮廓相同，其大小等于各点以上的土柱重量（图3一35）2.弹性地基上的绝对刚性基础（EI=α）由于基础刚度接近无穷大，在均布荷载作用下，基础只能保持平面下沉而不能弯曲。但是对地基而言，均匀分布的基底压力将产生不均匀沉降（图3-36a中的虚线），其结果基础变

7 (3 - 24) ( 1) 1 ( 1) [( ) ] 2 2 2 2 2 0 2 2 2 3 K p n m n m m n mn n m arctg n m arctg p pd x z z s z B z =       + − − − + + − = − − + =       条形均布荷载在地基内引起的水平向应力  x 和剪应力 xz  也可以根据式（3－20）和式(3 一21)积分求得，并简化为 (3 - 26) (3 - 25) τ K p K p s xz xz s x x =  = 上式中，Kz s、Kx s、Kxz s分别为条形面积受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数、 水平向应力分布系数和剪应力分布系数。其值可按 B x m = ， B Z n = 的数值由表3－5查得。 图 3－25（a）、(b)分别表示在宽度均为B的条形面积和方形面积上作用有相同大小的竖 直均布荷载p时，在地基内引起的  z 的等值线分布图。两者相比可以看出，它们在地基内引 起的  z 向下扩散的形式一样，但扩散的速度和应力影响深度则有很大的差别。以  z =0.1p等 值线作为比较，方形荷载影响深度为2B左右，而条形荷载深度达6B以上，即条形荷载的影响 深度远大于方形荷载的影响深度。 （三）条形面积其他分布荷载 条形面积上其他形式的分布荷载（常见的有竖直三角形分布荷载、水平均布荷载和竖直 梯形分布荷载）在地基内引起的应力  z 同样可以利用应力叠加原理，通过积分求得。计算公 式和计算方法见表3-6。 第四节 基底压力计算 作用在地基表面的各种分布荷载都是通过建筑物的基础传到地基中的。基础底面传递给 地基表面的压力为基底压力（或基底接触压力）。 一、基底压力的分布规律 精确地确定基底压力的数值与分布形式是一个很复杂的问题，它涉及上部结构、基础、 地基三者间的共同作用问题，与三者的变形特性（如建筑物和基础的刚度、土层的压缩性等） 有关。这里仅对其分布规律及主要影响因素进行定性分析。 （一）基础刚度的影响 为了便于分析，把各种基础按照与地基土的相对抗弯刚度（EI）分成三种类型。 1．弹性地基上的完全柔性基础（EI=0） 当基础上作用着均布条形荷载时（图3－34a），假定经过基础传至基底的压力也是均布 的，则根据地基中附加应力的分布规律可知，当地表面作用有均布条形荷载（基底压力）时， 地基中任意深度水平面上引起的附加应力  z 都是中间大、两边小（3-34b）。显然，由此均 布荷载引起的地面沉降也应是中间大两边小的凹形曲面。由于基础完全柔性，抗弯刚度EI=0， 可以完全适应地基的变形。所以，基底压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致，荷 载是均布时，基底压力也将是均布的。工程中常把土坝（堤）及以钢板做成的储油罐底板等 视为柔性基础。因此，在计算土坝底部的接触压力分布时，可认为与土坝的外形轮廓相同， 其大小等于各点以上的土柱重量（图3－35）。 2. 弹性地基上的绝对刚性基础（EI=） 由于基础刚度接近无穷大，在均布荷载作用下，基础只能保持平面下沉而不能弯曲。但 是对地基而言，均匀分布的基底压力将产生不均匀沉降（图3-36a中的虚线），其结果基础变

形与地基变形不相适应，基底中部将会与地面脱开，出现应力架桥作用。为使基础与地基的变形保持相容（图336C）必然要重新调整基底压力的分布形式，使两端应力加大，中间应力减小，从而使地面保持均匀下沉，以适应绝对刚性基础的变形。如果地基是完全弹性体，根据弹性理论解得的基底压力分布如图3一36b实线所示，基础边缘处的压力将为无穷大。因此，对于刚性基础来说，基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不相一弹塑性地基上有限刚性的基这是工程实践中最常见的情况。由于绝对刚性基础只是一种理想情况，地基也不是完全弹性体，因此上述弹性理论解的基底压力分布图形实际上是不可能出现的。因为当基底两端的压力足够大，超过土的极限强度后，土体就会形成塑性区，这时基底两端处地基土所承受的压力不能再增大，多余的应力自行调整向中间转移，又因基础并不是绝对刚性，可以稍为弯曲，因此应力重分布的结果，基底压力分布可以成为各种复杂的形式例如马鞍形分布等。这时两端应力不会是无穷大，而中间部分应力将比理论值大些（如图3一36b中虚线所示）。具体的压力分布形状与地基、基础的材料特性以及基础尺寸、荷载形状、大小等因素有关(二)荷载及土性的影响实测资料表明，刚性基础底面上的压力分布形状大致有图3一37所示的几种情况。当荷载较小时，基底压力分布形状如图a，接近于弹性理论解：荷载增大后，基底压可呈马鞍形（图b）：荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡，基底压力图形可变为抛物线型（图d）以至倒钟形分布（图C）压力分布形式是十分复杂的。目前在地基计算中，允许采用简化方法即假定基底压力按直线分布的材料力学方法进行计算。二、 基底压力的简化计算一）中心荷载作用荷载作用于基底形心时，基底压力按均匀分布（图3-38），并按下式计算：对于矩形某础p=-(3-30)基底压力（kPa）一作用于基础底面的竖直荷载（kN）：——基底面积（m2）A-BLB和L分别为矩形基底的宽度和长度。对于条形基础，在长度方向取1m计算，故p=B(3-31)式中P为沿长度方向1m内的相应荷载值kN/m。（二）偏心荷载作用矩形基础受偏心荷载作用时，基底压力可按材料力学偏心受压柱计算。若基础受双向偏心荷载作用（图3-39），则基底任意点的基底压力为：P+M.oy+M,.x(3-32)Par,)=1坐标x、y）的基底压力（kPa中,P(x,y)Mx、M分别为竖直偏心荷载P对基础底面x轴和y轴的力矩（kN·m），M=pe，M,-分别为基础底面对x轴和y轴的惯性矩（m*）；ex、ey一分别为竖直荷载对y轴和x轴的偏心矩（m）若基础受单向偏心荷载作用时，例如作用于x主轴上（图3一40），则Mx=0,ex=e。这时0

8 形与地基变形不相适应，基底中部将会与地面脱开，出现应力架桥作用。为使基础与地基的 变形保持相容（图3－36C），必然要重新调整基底压力的分布形式，使两端应力加大，中间 应力减小，从而使地面保持均匀下沉，以适应绝对刚性基础的变形。如果地基是完全弹性体， 根据弹性理论解得的基底压力分布如图3－36b实线所示，基础边缘处的压力将为无穷大。 因此，对于刚性基础来说，基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不相一 致。 3．弹塑性地基上有限刚性的基础 这是工程实践中最常见的情况。由于绝对刚性基础只是一种理想情况，地基也不是完全 弹性体，因此上述弹性理论解的基底压力分布图形实际上是不可能出现的。因为当基底两端 的压力足够大，超过土的极限强度后，土体就会形成塑性区，这时基底两端处地基土所承受 的压力不能再增大，多余的应力自行调整向中间转移；又因基础并不是绝对刚性，可以稍为 弯曲，因此应力重分布的结果，基底压力分布可以成为各种复杂的形式例如马鞍形分布等。 这时，基底两端应力不会是无穷大，而中间部分应力将比理论值大些（如图3－36b中虚线所 示）。具体的压力分布形状与地基、基础的材料特性以及基础尺寸、荷载形状、大小等因素 有关。 (二)荷载及土性的影响 实测资料表明，刚性基础底面上的压力分布形状大致有图3－37所示的几种情况。当荷载 较小时，基底压力分布形状如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力可呈马鞍形（图 b）；荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平 衡，基底压力图形可变为抛物线型（图d）以至倒钟形分布（图C）。 基底压力分布形式是十分复杂的。目前在地基计算中，允许采用简化方法即假定基底压 力按直线分布的材料力学方法进行计算。 二、基底压力的简化计算 （－）中心荷载作用 荷载作用于基底形心时，基底压力按均匀分布（图3－38），并按下式计算： 对于矩形某础 (3 - 30) A P p = 式中，p——基底压力（kPa）； P——作用于基础底面的竖直荷载（kN）； A——基底面积（m2）；A=BL，B和L分别为矩形基底的宽度和长度。 对于条形基础，在长度方向取1m计算，故 (3 - 31) B P p = 式中P为沿长度方向1m内的相应荷载值kN/m。 （二）偏心荷载作用 矩形基础受偏心荷载作用时，基底压力可按材料力学偏心受压柱计算。若基础受双向偏 心荷载作用（图3－39），则基底任意点的基底压力为： (3 - 32) ( , ) y y x x x y I M x I M y A P p •  • =  式中，p(x,y) —基底任意点（坐标x、y）的基底压力（kPa）； Mx、My —分别为竖直偏心荷载P对基础底面x轴和y轴的力矩（kN·m），Mx= p•ey，My= pex Ix、Iy —分别为基础底面对x轴和y轴的惯性矩（m4）； ex、ey —分别为竖直荷载对y轴和x轴的偏心矩（m）。 若基础受单向偏心荷载作用时，例如作用于x主轴上（图 3－40），则 Mx=0, ex=e。这时

基底两端的压力为：P(i+ 6e(3-33)Pmur安式（3一33），当eB/6时你在与基础之间不可能存在拉力。因此基础底面下的压力将重新分布如图示。这种情况在设计中应尽量避免。根据基础底面下所有压力之和与基础上总竖直荷载P相等的条件，得出基底边缘最大压力pmax为2P(3-34)Pax=3KL式中，K=号-e：其它符号意义同前。若条形基础受偏心荷载作用，同样可在长度方向取一延长米进行计算，则基底宽度方向两端的压力为：(1± e)(3-35)Paax式中P为沿长度方向取1m，作用于基础上的总荷载。第五节 有效应力原理中应力的且的是为了研力后的变形和强度问题，但是士的体积变化和强十手大是直接决定于土体所受的全部应力即总应力，这是因为土是一种由三相物质构成的碎散材料，受力后存在着（1）外力如何由三种成分来分担？（2）它们是如何传递与相互们和材料的李专化的与强度有什么关系等问题。太沙基（K.早在192zaoho问愿，提出了主力学中最重要的有效应力原理。有效应力原理的提出和年发现并研究了这些问是应用阐明了碎散颗粒材料与连续固体材料在应力一应变关系上的重大区别，是使土力学成为一门独立学科的重要标志。、有效应力原理的基本概念上中的两种应力形态部分由土骨架承担，并通过颗粒之间的接触面进行应力的于饱和土体后，你之为粒间应专递：中的水来承用然不能承担剪应力，但却能以通过连通的孔隙水传递，受法向这部分水压力称为孔隙力。有效应力原理就是研究饱和土中这两种应力的不同性质和它们与总应力的3一42表示饱和土体中某一放大了的横截面a面积为A，假设土颗粒较小，a都通过了土颗粒的接触点。由于颗粒接触点所占面积A很小，故面积A中绝大部分都是孔隙水所占据的面积Aw=A一As。若在该截面每单位面积上作用有垂直总应力o，则在a—a面上的孔隙水处将作用有孔隙水压力u，在颗粒接触处将存在粒间作用力Ps。P.的大小和方向都是随机的，现将其分解为竖直向和水平向两个分力，竖直向分力为Psv。考虑a一a面的竖向力平衡可A=P+uA方程两边均除以面积A，则ZPa+uA2(3-38)式（3－38）中，右端第一项为全部竖直向粒间作用力之和除以横断面积A，它代表全面积A上的平均竖直向粒间应力，并定义为有效应力，习惯上用c’表示。右端第二项中的Aw/A，由于颗粒接触点面积As根据研究不超过0.03A，故Aw/A～1。由此，式（3-38）可简化为(3-39)g=gu

9 基底两端的压力为： (3 - 33) 6 1 min max       =  B e A P p 按式（3－33），当 e<B/6时，基底压力为梯形分布（图 3－40a）；当 e=B/6时，基底压 力为三角形分布（图 3－40b）；当 e＞B/6时，基底压力将出现负值即拉力，但实际上在土 与基础之间不可能存在拉力。因此基础底面下的压力将重新分布如图3－40C所示。这种情况 在设计中应尽量避免。根据基础底面下所有压力之和与基础上总竖直荷载P相等的条件，得出 基底边缘最大压力pmax为 (3 - 34) 3 2 max KL P p = 式中， e B K = − 2 ；其它符号意义同前。 若条形基础受偏心荷载作用，同样可在长度方向取一延长米进行计算，则基底宽度方向 两端的压力为： (3 - 35) 6 1 min max       =  B e B P p 式中P为沿长度方向取1m，作用于基础上的总荷载。 第五节 有效应力原理 计算土中应力的目的是为了研究士体受力后的变形和强度问题，但是土的体积变化和强 度大小并不是直接决定于土体所受的全部应力即总应力，这是因为土是一种由三相物质构成 的碎散材料，受力后存在着（1）外力如何由三种成分来分担？（2）它们是如何传递与相互 转化的？（3）它们和材料的变形与强度有什么关系等问题。太沙基（K．Terzaghi）早在1923 年发现并研究了这些问题，提出了土力学中最重要的有效应力原理。有效应力原理的提出和 应用阐明了碎散颗粒材料与连续固体材料在应力一应变关系上的重大区别，是使土力学成为 一门独立学科的重要标志。 一、有效应力原理的基本概念 （一）饱和土中的两种应力形态 当外力作用于饱和土体后，一部分由土骨架承担，并通过颗粒之间的接触面进行应力的 传递，称之为粒间应力；另一部分则由孔隙中的水来承担，水虽然不能承担剪应力，但却能 承受法向应力，并且可以通过连通的孔隙水传递，这部分水压力称为孔隙水压力。有效应力 原理就是研究饱和土中这两种应力的不同性质和它们与总应力的关系。 图3－42表示饱和土体中某一放大了的横截面a—a，面积为A，假设土颗粒较小，a—a面 都通过了土颗粒的接触点。由于颗粒接触点所占面积As很小，故面积A中绝大部分都是孔隙水 所占据的面积Aw=A—As。若在该截面每单位面积上作用有垂直总应力，则在a—a面上的孔 隙水处将作用有孔隙水压力u，在颗粒接触处将存在粒间作用力Ps。Ps的大小和方向都是随机 的，现将其分解为竖直向和水平向两个分力，竖直向分力为Psv。考虑a—a面的竖向力平衡可 知 A = Psv + uAw 方程两边均除以面积A，则 (3 - 38) A A u A Psv w = +   式（3－38）中，右端第一项为全部竖直向粒间作用力之和除以横断面积A，它代表全面 积A上的平均竖直向粒间应力，并定义为有效应力，习惯上用’表示。右端第二项中的Aw/A， 由于颗粒接触点面积As根据研究不超过0.03A，故Aw/A≈1。由此，式（3－38）可简化为 (3 - 39) '  =  + u

式（3-39）即为饱和土有效应力原理的表达式有效应力原理要有效应力原理是太沙基于1936年首次用英语论述的，其主要内容可归纳为如下两点1.饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为有效应力和孔隙水压力两部分，其间关系总是满足：a=g式中，一作用在土中任意面上的总应力（自重应力与附加应力）可由本章中上述方法计算得出；一有效应力，作用于同一平面的土骨架上，也称粒间应力：一孔隙水压力，作用于同一平面的孔隙水上，性质与普通静水压力相同。土的变形压缩强度的变化都只取决于有效应力的变化意味着引起土的体积压缩和抗剪强度发生变化的原因，并不是作用在本上的总应而是总应力与孔隙水压力之间的差值一有效应力本身并不能使土发变形利强限水压不会使土颗粒7日禅的用：移动和导致孔隙体积变化。它除了使土颗粒受到浮力外，只能使土颗粒本身受到静水压大，本身的压缩可以忽略不计。另外，水不能承受剪应力，因此孔而固体颗粒的压缩模量E很大隙水压力自身的变化也不会引起土的抗剪强度的变化。但是应当注意，当总应力保持常数时孔压u发生变化将直接引起了有效应力发生变化，从而使土体的体积和强度发生变化，二、饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算变化，为了研究土工建筑物或土基的变形与安全度随有效应王的压缩和强就必须要确定土体中的有效应力。然而通常都是在求得总应后，利用式（）计算得出。总应力。可用土和孔AH力计算方法算出；孔隙水压力u可以实测也可以通过计算得出。下面介绍几种不同应力条件下的孔隙水压力和有效应力计算一）自重应力情况1.静水位条件下图3一45a为一土层剖面，地下水位位于地面下深度Hi处，地下水位以上土的湿容重为Y1。地下水位以下为饱和容重sar。现在欲求地下水位以下饱水土层中A点竖直方向的总应力c、孔隙水压力u和有效应力。作用在A点水平面上的总应力，应等于该点以上的单位土柱和水柱的总重量，故=yH+yaH,孔隙水压力u应等于该点的静水压强，所以u=y,H,根据有效应力原理，A点处竖向有效应力应为g=g-u=H,+H,-wH,=Y,H, +( sat-Y)H,=YH,+yH,由计算结果可以看出，就是A点的自重应力，所以自重应力是指有效应力。A点以上土层沿深度的o、u、分布如图3一45b中实线所示。如果地下水位下降了AH至H处稳定下来，假设地下水位以上的土容重仍为Y1，则总应力10

10 式（3－39）即为饱和土有效应力原理的表达式。 （二）有效应力原理要点 有效应力原理是太沙基于1936年首次用英语论述的，其主要内容可归纳为如下两点： 1.饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为有效应力和孔隙水压力两部分，其间关系总 是满足： = + u '   式中，—作用在土中任意面上的总应力（自重应力与附加应力）可由本章中上述方法计 算得出； ’—有效应力，作用于同一平面的土骨架上，也称粒间应力； u—孔隙水压力，作用于同一平面的孔隙水上，性质与普通静水压力相同。 2．土的变形（压缩）与强度的变化都只取决于有效应力的变化 这意味着引起土的体积压缩和抗剪强度发生变化的原因，并不是作用在土体上的总应力， 而是总应力与孔隙水压力之间的差值—有效应力。孔隙水压力本身并不能使土发生变形和强 度的变化。这是因为水压力各方向相等，均衡的作用于每个土颗粒周围，因而不会使土颗粒 移动和导致孔隙体积变化。它除了使土颗粒受到浮力外，只能使土颗粒本身受到静水压力， 而固体颗粒的压缩模量E很大，本身的压缩可以忽略不计。另外，水不能承受剪应力，因此孔 隙水压力自身的变化也不会引起土的抗剪强度的变化。但是应当注意，当总应力保持常数时， 孔压u发生变化将直接引起了有效应力’发生变化，从而使土体的体积和强度发生变化。 二、饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算 既然土的压缩和强度只随有效应力而变化，为了研究土工建筑物或土基的变形与安全度 就必须要确定土体中的有效应力。然而有效应力’作用在土骨架的颗粒之间，很难直接测定， 通常都是在求得总应力和孔隙水压力u之后，利用式（3－39）计算得出。总应力  可用土中 应力计算方法算出；孔隙水压力u可以实测也可以通过计算得出。下面介绍几种不同应力条件 下的孔隙水压力和有效应力计算。 （一）自重应力情况 1．静水位条件下 图3－45a为一土层剖面，地下水位位于地面下深度H1处，地下水位以上土的湿容重为1。 地下水位以下为饱和容重 sat  。现在欲求地下水位以下饱水土层中A点竖直方向的总应力、 孔隙水压力u和有效应力’。 作用在A点水平面上的总应力，应等于该点以上的单位土柱和水柱的总重量，故 1H1 satH2  =  +  孔隙水压力u应等于该点的静水压强，所以 u wH2 =  根据有效应力原理，A点处竖向有效应力’应为 2 ' 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ' ( ) H H H H H H H u sat w sat w           = + = + − = + − = − 由计算结果可以看出，’就是A点的自重应力，所以自重应力是指有效应力。A点以上土 层沿深度的、u、’分布如图3－45b中实线所示。 如果地下水位下降了H至H2’处稳定下来，假设地下水位以上的土容重仍为1，则总应力