《基本电路理论》第四章（4-3） 节点分析法系统方法

基本电路理论 上海交通大本科学课程 2003年9月

基本电路理论 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

§43节点分析法系统方法 在第一章网络图论中已得到KCL、KⅥ矩阵方程 AL=0、V=AE 其中A为降阶关联矩阵,I为支路电流列向量,V为支路电压 列向量,E为节点电压列向量。 典型支路特 ik -isk =8k(vk -vsk) 性方程 i k=gk(vk -vsk)+is 对具有b条支路的网络所有支路电流、电压有 b=G (vb-Vsb)+lsby vb=rb(b-Isb)+Vsb 其中、Vs分别为支路电流、电压源列向量,G1、R分别为 支路电导、电阻矩阵,都是b×b阶对角阵

§4.3 节点分析法系统方法 在第一章网络图论中已得到KCL、KVL矩阵方程 其中A为降阶关联矩阵，Ib为支路电流列向量，Vb为支路电压 列向量，En为节点电压列向量。 AIb=0、Vb=ATEn 典型支路特 性方程 Sk i ki Sk v k v k g + − + − ( ) ( ) k Sk k k Sk k k k Sk Sk i i g v v i g v v i − = − = − + 对具有b条支路的网络所有支路电流、电压有 Ib=Gb (Vb -VSb)+ISb、Vb=Rb (Ib -ISb)+VSb 其中ISb、VSb分别为支路电流、电压源列向量，Gb、Rb分别为 支路电导、电阻矩阵，都是b×b阶对角阵

KCL AI=O KVL VbA 支路方程L2G6(VbVs)+l ①②③ Sb 支路将③→①AIb= AGLVI-AGhV+AIsb=0 AGbVbAGbVSb-AlSb 将②→④ AG AEn =AG Vsb-AIsb 定义节点电导矩阵Gn=AGAT 定义节点电流源列向量Is= AGh VSB-AlSI 则 其中G称节点电导矩阵,E是节点电压(对参考节点)列 向量,I为节点电流源列向量

KCL AIb=0 ① 支路方程 Ib=Gb (Vb -VSb)+ISb ③ KVL Vb=ATEn ② 支路将③→① AIb=AGbVb -AGbVSb+AISb=0 AGbVb=AGbVSb-AISb ④ 将②→④ AGbATEn =AGbVSb-AISb 定义节点电导矩阵 Gn=AGbAT 定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb 则 GnEn = IS 其中Gn称节点电导矩阵，En是节点电压（对参考节点）列 向量，IS为节点电流源列向量

节点电导矩阵Gn g1812 g1 主对角线元素g为自电导,总G=8182 是正的,非主对角线元素g 为互电导,总是负的。 8n8 由Gn=AGbA,进行转置,Gn=(AGbA)=(A(AGb = AGTA=AGb2A,所以G是对称阵。 ●求解支路电压、支路电流 由节点方程GnEn=Is,求得节点电压En=GnIs 已知E得支路电压Vb=AEn,支路电流b=G6( Vb-Vsh)+ls ●在无受控源时,所得节点方程和视察法所得节 点方程完全一样

节点电导矩阵Gn 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n n nn g g g g g g G g g g       =       主对角线元素gii为自电导，总 是正的，非主对角线元素gij 为互电导，总是负的。 由Gn=AGbAT，进行转置，Gn T=(AGbAT ) T =( AT ) T (AGb ) T =AGb TAT=AGbAT，所以Gn是对称阵。 求解支路电压、支路电流 由节点方程Gn En = IS，求得节点电压En = Gn -1 IS 已知En得支路电压Vb=ATEn，支路电流Ib=Gb (Vb -VSb)+ISb 在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节 点方程完全一样

●若是正弦稳态情况,则矩阵方程中的列向量均为相量列 向量,支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩 阵Y和节点导纳矩阵Y。此时Yb=Yj0),Yn=Yn(jo), 称符号或复数)导纳,都是jo的函数。 对具有互感的电路,支路符 0 导纳矩阵将不再是对角矩 y21y22 Yb y33 0 阵,而是对称矩阵。设支路 、2间有互感,则 y ●对具有受控源的电路,Y和Yn,G和Gn一般就不再是对 角阵或对称阵。当电路中含有受控源时,可以有两种处理 方法 ①在建立支路矩阵(支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵) 时将受控源考虑进去 ②先将受控源按独立源处理,最后转移到G或Y中去

若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列 向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩 阵Yb和节点导纳矩阵Yn。此时Yb=Yb (j)，Yn=Yn (j)， 称符号(或复数)导纳，都是j的函数。 对具有互感的电路，支路符 号导纳矩阵将不再是对角矩 阵，而是对称矩阵。设支路 1、2间有互感，则 对具有受控源的电路，Yb和Yn，Gb和Gn一般就不再是对 角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理 方法 11 12 21 22 33 0 0 0 0 b bb y y y y Y y y       =           ①在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵） 时将受控源考虑进去 ②先将受控源按独立源处理，最后转移到Gn或Yn中去

§44网孔分析法 操秀程!课卡在哥度圈鹎莫毵 方程。 ●网孔矩阵Ma(其对偶矩阵是关联矩阵A2) 定义:设网络N具有b条支路,m+1个网孔(包括外网孔) 网孔方向为:内网孔顺时针方向,外网孔逆时针方向。于 是可得网孔关联支路的(m+1)×b阶的网孔矩阵M=(m) 1网孔①与支路b关联,网孔方向与支路方向一致 m={-1网孔①与支路b关联,网孔方向与支路方向相反 0网孔①与支路b无关联

§4.4 网孔分析法 根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节 点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的 方程。 定义：设网络N具有b条支路，m+1个网孔(包括外网孔)， 网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于 是可得网孔关联支路的(m+1)×b阶的网孔矩阵Ma=(mik) 网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） k k k ik b b b m   =    网孔 与支路 关联，网孔方向与支路方向一致 网孔 与支路 关联，网孔方向与支路方向相反 0 网孔 与支路 无关联 ⓘ ⓘ ⓘ 1 -1

●网孔矩阵M2(其对偶矩阵是关联矩阵Aa) 网孔矩阵的秩由(A3)=n-1,可推知r(M)=(m+1)-1=m 降阶网孔矩阵在关联矩阵A中,把与参考节点对应的 行划去得降阶关联矩阵A。在网孔矩阵M中,把与外网 孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵M。M的秩仍为m KVL MV=O KCL Ib-MJ k Sk 支路特性方程 VK n(ik -isk)+vsk V=R35-)+sb0 R是b×b阶对角阵 0

网孔矩阵的秩 由r(Aa )=nt -1，可推知r(Ma )=(m+1)-1=m 网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） 降阶网孔矩阵 在关联矩阵Aa中，把与参考节点对应的一 行划去得降阶关联矩阵A。在网孔矩阵Ma中，把与外网 孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵M。M的秩仍为m KVL MVb=0 KCL Ib=MT Jm 支路特性方程 Sk i ki Sk v k v kr + − + − ( ) ( ) k Sk k k Sk k k k Sk Sk v v r i i v r i i v − = − = − + ∴ Vb=Rb (Ib -ISb)+VSb Rb是b×b阶对角阵 1 0 0 b r r          

网孔方程 KVL MV=O KCL b=MJ 支路方程Vb=Rb(b-lsb)+V 支路将③→① MVb=MR Ib- MR,ISb+MVsb=0 MR Ib=MR Isb-MV Sb 将②→④ MR6MJm= MR, ISb-MⅤsb 定义 Rm- MRhMI Vs=MR,ISb-MVSb 则 其中J是网孔电流列向量,V为网孔电压源列向量,Rn 称网孔电阻矩阵

KVL MVb=0 ① 支路方程 Vb=Rb (Ib -ISb)+VSb ③ KCL Ib=MT Jm ② 支路将③→① MVb=MRb Ib -MRb ISb+MVSb=0 MRb Ib=MRb ISb-MVSb ④ 将②→④ MRb MT Jm =MRb ISb-MVSb 定义 Rm= MRbMT VS = MRb ISb-MVSb 则 Rm Jm = VS 其中Jm是网孔电流列向量，VS为网孔电压源列向量，Rm 称网孔电阻矩阵。 网孔方程

●网孔电阻矩阵 对主对角线元素r为自电阻 总是正的,非主对角线元素r 为互电阻,总是负的网孔电流 全取顺时针方向)。R是对称 矩阵,I1千 ●如果是正弦稳态情况,则列向量→相量列向量,Rb→Z支 路阻抗矩阵,Rn→Z网孔阻抗矩阵 ●对具有互感的电路,Z→对称矩阵 ●对求解支路电流、支路电压 由网孔方程RnJm=V可求得网孔电流Jn=RmVs 已知J得支路电流b=MJ,支路电压Vb=Mb-sb)+Vsb

网孔电阻矩阵 对主对角线元素rii为自电阻， 总是正的，非主对角线元素rij 为互电阻，总是负的(网孔电流 全取顺时针方向)。Rm是对称 矩阵, rij=rji。 如果是正弦稳态情况，则列向量→相量列向量，Rb→Zb支 路阻抗矩阵，Rm→Zm网孔阻抗矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 m m m m m mm r r r r r r R r r r       =       对具有互感的电路，Zb →对称矩阵 对求解支路电流、支路电压 由网孔方程Rm Jm = VS可求得网孔电流Jm = Rm -1VS， 已知Jm得支路电流Ib=MT Jm，支路电压Vb=Mb (Ib -ISb)+VSb

§4.5基本回路分析法 网孔分析 网络的限 有真 的局限性,而回路分析不受平面 有根大的灵活性。 网络图论基本定理指出,具有b条支路,n个节点 的连通图有一个n=n-1条树支组成的树,有l=b n+1=bn条连支,并且每一条连支都可以和一些 树支构成一个唯一的回路,即基本回路。 根据KVL,对每个基本回路可得一个回路方程,总 共为个回路方程。由于每个基本回路中,总有 条新的连支,所以个回略方程是彼此独立的

§4.5 基本回路分析法 网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面 网络的限制，具有根大的灵活性。 网络图论基本定理指出，具有b 条支路，nt个节点 的连通图有一个 n = nt -1条树支组成的树，有l = b￾nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一些 树支构成一个唯一的回路，即基本回路。 根据KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，总 共为l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有一 条新的连支，所以l 个回路方程是彼此独立的