西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（下）10-5 场强与电势的关系

第6节场强与电势的关系 E、U,U=E.ai 一、等势面 1点电荷，U=,9 4πEoJ 2、无限长均匀带电直线，U=-一 3、无限大均匀带电平面，U=- 260 约定：相邻的两个等势面的电势差都相等 性质： (1)沿等势面移动电荷，电场力作功为零 (2)等势面与电力线处处正交， 电力线的方向为电势降落的方向 1

1 第 6 节 场强与电势的关系 E 、 ，  U    R P U E dl   一、等势面 1、点电荷， r q U 4 0   2、无限长均匀带电直线， 0 0 ln 2 r r U     3、无限大均匀带电平面，U r 2 0     约定：相邻的两个等势面的电势差都相等 性质： （1）沿等势面移动电荷，电场力作功为零 （2）等势面与电力线处处正交， 电力线的方向为电势降落的方向 q 

证明： (1)Up=Ue A=qoUPo =0 (2)反证法： 设等势面上某点处 E与等势面不正交 9o dl Ecos0 即0≠π Ecos@≠0，dA=qE.di=goEcosedl≠0，矛盾 U,-U。-E.i =Ecosl=∫Ed>0 Up>Uo 二、场强与电势的微分关系 du>0,Un>U 等势面的正法线方向： P 沿电势增加的方向 dn dU >0 PP>PP U+dU dn dl cos0 dudu (方向导数) E U dn dl dU du du cose dl dn/cose dn coss1, d dn 定义：电势梯度VU的方向：电势增加率最大的方向 大小U川-盟 VU-Un dn dA=9oE·d而=9oUAs→9oE(-l)dn=qol[U-(U+dU)】 E(-1)dn=-dU,E= dn E=-VU=- n dn E.0=- dn 2

2 证明：（1） UP  UQ S 0 A  q0UPQ  P Q （2）反证法： 设等势面上某点处 E 与等势面不正交  q0 dl Ecos 即 2    Ecos  0 ，dA  q0E  dl  q0Ecosdl  0，矛盾       Q P P Q U U E dl   E  = = Q P Ecosdl  0 Q P Edl UP  UQ 二、场强与电势的微分关系 U dU  0，UII  UI 等势面的正法线方向： 沿电势增加的方向 P3 dU  0 P1P3  P1P2 II U  dU dn  dl cos 、 （方向导数） dn dU dl dU El I U = = ， dl dU dn / cos dU dn dU cos E  cos 1， dl dU dn dU  定义：电势梯度U 的方向：电势增加率最大的方向 大小： dn dU U  n dn dU U    0 0 P1P2 dA  q E  dn  q U    ( 1) [ ( )] q0E  dn  q0 U  U  dU E(1)dn  dU ， dn dU E  n dn dU E U       0 0 n l dn dU E l         P  dn P2 q0 dl 0 l  P1 E  Q n  0 q

du COs0=_ dn dl al Oxyz:1=i,j,k, aU E.= aU aU E,=- E.= SI:V/m Ox Oy 82 例：均匀带电圆环(q,R)轴线上电势U= q 4r6√x2+R2 求：轴线上E 解：E=-dU =-（x+R)2x gx x4π6。 4π6。(x2+R2)3n 由于对称性，E,=0,E=0 例：电势U=Aln(x2+y2) 求：E 解：E,=-=-4 2x 。x2+2E:=-=0 x+E影12” 例：两个均匀带电球面同心 R/OPP 0 rR 4πEr2 1、r<R U-E.di-Ecosadl cosdcoscos -店品+g8 =g-凸+9+01=g。+,0 4π6RR24πE0R34πER4πER 2、R<r<R2 U-E.di-EcosllEcos+Ecosall

3 l U dl dU dn dU El     cos     Oxyz ：l i j k ，     , , 0  ， ， SI：V/m x U Ex     y U Ey     z U Ez     例：均匀带电圆环（q ， R ）轴线上电势 2 2 4 0 x R q U    求：轴线上 E  解： = = x U Ex     x R x q )( ) 2 2 1 ( 4 2 2 3 / 2 0       2 2 3 / 2 0 4 ( ) 1 x R qx   由于对称性， Ey =0， Ez =0 例：电势 ln( ) 2 2 U  A x  y 求： E  解： = ， = ， =0 x U Ex     2 2 2 x y x A   y U Ey     2 2 2 x y y A   z U Ez     例：两个均匀带电球面同心 Q2 Q1 R1 O P P P  R2 解：            2 2 0 1 2 2 1 2 0 1 1 4 4 0 r R r Q Q R r R r Q r R E   1、 R1 r  =    P U E dl    P Ecosdl = + +  1 cos R P E dl  2 1 cos R R E dl  2 cos R E dl = +  2 1 2 0 1 4 R R dr r Q    2 2 0 1 2 R 4 dr r Q Q  = ) + = + 1 1 ( 4 0 1 2 1 R R Q   0 2 1 2 1 4 R Q Q   0 1 1 4 R Q  0 2 2 4 R Q  2、 1 R2 R  r  = = +    P U E dl    P Ecosdl  2 cos R P E dl  2 cos R E dl

-+号 4πE2 JR24πEr1 =9心-)+9+01=0+，9 4πErR24πER24π6r4πER2 3、r> U="E.di="Ecosll -9号h-9t01-g+Q 4π6。r4πEor4π81 UU R 0, R R 1、rR U= 9+9 4πEr4πEor 静电场小结 库仑定律 高斯定理： fEs=上∑4 0内 场强迭加原理 环路定理： fE.di=0 静电场是有源场，电荷是静电场的场源 静电场是保守场，是引入电势的先决条件 E满足矢量迭加原理，U满足标量迭加原理 U=∫Eal,E=-vU=-Wm dn 4

4 = +  2 2 0 1 4 R r dr r Q    2 2 0 1 2 R 4 dr r Q Q  = ) + = + 1 1 ( 4 0 2 1 r R Q   0 2 1 2 1 4 R Q Q   r Q 0 1 4 0 2 2 4 R Q  3、 R2 r  =    P U E dl    P Ecosdl = = = +   r dr r Q Q 2 0 1 2 4 r Q Q 1 4 0 1 2   r Q 0 1 4 r Q 0 2 4 U R1 R2 r Q2 Q1 R1 O R2 1、r  R1 + 0 1 1 4 R Q U   0 2 2 4 R Q  2、 R1  r  R2 + r Q U 0 1 4  0 2 2 4 R Q  3、r  R2 + r Q U 0 1 4  r Q 0 2 4 静电场小结 库仑定律 高斯定理：     内 i S E dS q 0 1    场强迭加原理 环路定理：   0 L E dl   静电场是有源场，电荷是静电场的场源 静电场是保守场，是引入电势的先决条件 E 满足矢量迭加原理， 满足标量迭加原理  U    ， R P U E dl   n dn dU E U      