西安电子科技大学：《计算方法》课程教学资源（PPT课件）非线性方程的近似解法（2/2）

雅线性方程的近似解法 ·迭代法收敛性例题 ·一种迭代加速方法一埃特全方法 ·牛顿迭代法 ·孩截法

非线性方程的近似解法 • 迭代法收敛性例题 • 一种迭代加速方法—埃特金方法 • 牛顿迭代法 • 弦截法

非线性方程的近似解法 ·迭代法收敛性例题 ·一种送代加速方法一埃特全方法 ·牛顿迭代法 ·孩截法

非线性方程的近似解法 • 迭代法收敛性例题 • 一种迭代加速方法—埃特金方法 • 牛顿迭代法 • 弦截法

定理1 p(x),x∈[a,b]若满足： 1、a≤p(x)≤b,x∈[a,b] 2、p(x)可导，且存在正数L<1, 使得对任意的x,有 p'(x)≤L 则有： 1、存在唯一的点x*,使得x*=p(x*) 2、x,∈a,b迭代收敛，且有误差估计 s,k刘

(x), x[a,b] 若满足： 1、 a (x)  b, x[a,b] 则有： 1、存在唯一的点 x*,使得x* =(x*) 2、 x a,b  0  迭代收敛，且有误差估计 1 0 1 * x x L L x x k k − − −  定理1 2、 (x) 可导，且存在正数L<1， '(x)  L 使得对任意的x，有

例1：能否用迭代法求解下列方程，如果不能， 试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 (1)x=(cosx+sin x)/4; (2)x=4-2 (x∈[1,2])： 解：①：p(x)=(cosx+snx)/4,且x,有 cos x 11 4 2 .能用迭代法直接求解以上方程

试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 例1：能否用迭代法求解下列方程，如果不能， ( )。 ； (2) 4 2 [1,2] (1) (cos sin )/ 4 = −  = + x x x x x x 2 1 4 1 4 1 4 cos 4 sin 4 sin cos ( ) 1 ( ) (cos sin )/ 4 +  + = −  − +  = = +  x x x x x x x x x  解：（） ，且 ，有 能用迭代法直接求解以上方程

W (08)= (2).p(x)=4-2',且x∈[1,2] 装熟素（心，）人=心，Wd .lp'(x)=-2*h2≥2n2≈1.386>1 .·以上方程式不能直接用该迭代函数求解。 改写原方程为x=1og,(4-x)则p,(x)=l0g(4-x) 由x∈[1,2]知， -1 h-2 ≈0.721348≤1 ∴.用迭代函数p(x)求解以上方程式时收敛

(2) (x) = 4 − 2 x[1,2]  x ，且 x a x a a a a x x ln 1 (log ) ( ) ln  = 高等数学：  =  ( ) = − 2 ln 2  2ln 2 1.386 1 x  x 以上方程式不能直接用该迭代函数求解。 log (4 ) ( ) log (4 ) 2 1 2 改写原方程为x = − x ，则 x = − x 0.721348 1 ln 2(4 2) 1 ln 2(4 ) 1 ln 2(4 ) 1 (4 )ln 2 (4 ) ( ) [1,2] 1   −  − = − − = − −   =  由 知， x x x x x x  用迭代函数1 (x)求解以上方程式时收敛

非线性方程的近似解法 ·迭代法收敛性例题 ·一种迭代加速方法一埃特全方法 ·牛顿迭代法 ·孩截法

非线性方程的近似解法 • 迭代法收敛性例题 • 一种迭代加速方法—埃特金方法 • 牛顿迭代法 • 弦截法

埃特全方法 般迭代过程 迭代加速过程 y=x y=x y=o(x) y=p() 02x* 0 x*x2 x1

埃特金方法 x y y = x x* y=φ(x) x1 x0 x2 x y y = x x* y=φ(x) x1 x0 x2 一般迭代过程 迭代加速过程

埃特全方法 迭代加速过程 过程分析： (1)从x出发先迭代两次，得到 Ax。,x x=p(x)乃x2=p(x) 在y=0(x)上构成两点4(x。,xbB(区，x) x,x,可以看作是临时变量 y-o(x) B(,) (2)求直线AB与y=x的交点(x,x)为 将x 作为第一次的迭代结果。 直线AB方程： x-x=无-x x=p(x)x2=p(x)》 y-x x,-x 迭代方程：x= x无2-x k+ x-2x+ x。-2元+x

埃特金方法 x y y = x x* y=φ(x) x0 x1 迭代加速过程1 x ( , ) 0 1 A x x ( , ) 1 2 B x x 过程分析：( ) ( ) (1) 1 0 2 1 0 x x x x x = ， =  从 出发先迭代两次，得到 ( ) ( , ) ( , ) 0 1 1 2 在y = x 上构成两点A x x ，B x x 将 作为第一次的迭代结果。 求直线 与 的交点 ， 1 1 1 (2) ( , ) x AB y = x x x x1 ，x2 可以看作是临时变量 2 1 1 0 1 0 AB x x x x y x x x − − = − − 直线 方程： 0 1 2 2 0 2 1 1 x 2x x x x x x − + − 迭代方程： =      − + − = = = + 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x k k k  k ， 

例1： 灭=p(x)为x2=p(区)》 用埃特金方法求方程2+x-4=0的根 x玉2一 (初值x。=1)。 x-2x+x, 解：将方程改写成达代格式X=h(4一 ）取x,=1 第1次选代：正-(4-)=05493L.=号M4-05493)=0.61929 得到：x= x元2-x2 1×0.61929-0.54931 =0.60988 x。-2x+x,1-2×0.54931+0.61929 1 1 第2次迭代：元=h(4-0.60988)=0.61043,元=。ln(4-0.61043)=0.61035 2 得到：x,= x2-x 0.60988×0.61035-0.61043 =0.61036 x-2x+x0.60988-2×0.61043+0.61035 x,-x=0.61036-0.61035=0.0001 ∴.可以认为迭代过程已经收敛，将x,作为方程根的近似

     − + − = = = + 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x k k k  k ，  初值 。 用埃特金方法求方程 的根 例 ： ( 1) 4 0 1 0 2 = + − = x e x x x = ln (4 − x) 2 1 解：将方程改写成迭代格式 ln( 4 0.54931) 0.61929 2 1 ln( 4 1) 0.54931 2 1 第1次迭代：x1 = − = ，x2 = − = 0.60988 1 2 0.54931 0.61929 1 0.61929 0.54931 2 2 0 1 2 2 0 2 1 1 = −  +  − = − + − = x x x x x x 得到：x 取x0 = 1 ln( 4 0.61043) 0.61035 2 1 ln( 4 0.60988) 0.61043 2 1 2 第 次迭代：x1 = − = ，x2 = − = 0.61036 0.60988 2 0.61043 0.61035 0.60988 0.61035 0.61043 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 = −  +  − = − + − = x x x x x x 得到：x 可以认为迭代过程已经收敛，将 2作为方程根的近似。 2 2 0.61036 0.61035 0.0001 x x x   − = − =

埃特金方法的优点 ·比用一般迭代法计算收敛速度要快； ·对某些发散的迭代过程，改用埃特金方法， 有时也能求出方程的根

埃特金方法的优点 • 比用一般迭代法计算收敛速度要快； • 对某些发散的迭代过程，改用埃特金方法， 有时也能求出方程的根