华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第10章 无穷级数 10.6 傅立叶级数

第十章 第六节 傅立叶级(Fourier Series) 一、三角级数三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 (上页今 下页 返回

2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第六节 傅立叶级数 第十章 (Fourier Series) 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习

一、三角级数三角函数系的正交性 (Trigonometric series) 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，0为角频率，中为初相) 复杂的周期运动：y=0+∑4nsin(not+pn) n=l (谐波迭加) An sin on cosnot+An coson sin not 4o=Ao.an=An sinn:bn=An cos on1=x 2 得函数项级数 o.coxb.sinp 称上述形式的级数为三角级数 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、三角级数 三角函数系的正交性 (Trigonometric series) 简单的周期运动 : y = A ω t + ϕ )sin( (谐波函数 ) ( A 为振幅, 复杂的周期运动 : sin( ) 1 0 n n n += ∑ tnAAy +ϕω ∞ = A n t A n t ϕ nn cossin ω + ϕ nn sincos ω 令 , 2 0 0 A a = ,sin = Aa ϕ nnn ,cos = Ab ϕ nnn ω t = x 得函数项级数 cos( )sin 2 1 0 xnbxna a n n k + ∑ + ∞ = ω为角频率 , φ 为初相 ) (谐波迭加 ) 称上述形式的级数为三角级数

定理1组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,coSnx,sinnx,. 在[-π，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0. 证：∫1 cosdx=∫1 sinndx=0(n=1,2,) "coskx cosnx dx coskx cosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =2[cosk+m)x+cosk-nx]Ax=0(k≠m） 同理可证：sinkxsinnxdx=0(k≠n) ∫coskx sinx dx=0 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 [ ]d)cos()cos( xxnkxnk 2 1 = −++ ∫− π π ,1 x ,cos x ,sin x ,2cos x ,2sin " nx ,cos, nx ,sin " 证 : ⋅ ∫ − π π 1 nx dcos x ⋅= ∫ − π π 1 nx dsin x = 0 k x coscos n x = k ≠ n)( dcoscos xxnxk ∫− π π = 0 = 0dsinsin ∫− xxnxk π 同理可证 π : n = "),2,1( [ )(cos)(cos xnkxnk ] 2 1 −++ 在 −π π ],[ 上正交 , −π π ],[ 上的积分等于 0 . = 0dsincos ∫ 即其中任意两个不同的函数之积在 − xxnxk π π k ≠ n )( 定理 1 组成三角级数的函数系

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 [1-ldx=2m cos2nxdx=元 (n=1,2,.) sin2 nxdx=x cos2 nx= 1+cos2nx 1-cos2nx sinnx= 2 2 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 上的积分不等于 0 . −π π],[ π π π =⋅ 2d11 ∫− x dsin xxn 2 ∫− π π dcos xxn 2 ∫− π π n = "),2,1( , 2 2cos1 cos 2 xn xn + = 2 2cos1 sin 2 xn xn − = 且有 = π = π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

二、函数展开成傅立叶级数 (Expanding to Fourier series) 定理2设f(x)是周期为2元的周期函数，且 w)-9+艺a,osnm+d.smm) ●● ① n=l 右端级数可逐项积分，则有 ∫a,=∫.f(x)cosnxdx (n=0,1,.) 6f()sinnxdx (n=12,) ② 证：由定理条件，对①在[一π，π]逐项积分，得 ruh=ja+2oomdr+amadr -π =ao元 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 二、函数展开成傅立叶级数 (Expanding to Fourier series) 定理 2 设 f (x) 是周期为 2 π 的周期函数 , 且 cos( )sin 2 )( 1 0 nxbnxa a xf n n n += ∑ + ∞ = 右端级数可逐项积分, 则有 ⎩ ⎨ ⎧ ),1,0(dcos)( = 1 ∫ = " − n nxnxxfa π π π ),2,1(dsin)( = 1 ∫ = " − n nxnxxfb π π π 证 : 由定理条件 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ + ⎝ ⎛ += ∑ ∫∫∫∫ ∞ − − = 1 − − 0 d dsindcos 2 )( n n n xxnbxxnax a dxxf π π π π π π π π = a 0 π ],[ ① ② 对①在 −π π 逐项积分, 得

do)dx )cokxdcd +2poaaoar+a1icosonedr =ax」c0s2kxdx=a元 (利用正交性) a,=.f()coskrdx(k=1,2-） 类似地，用sin kx乘①式两边，再逐项积分可得 )sin krdx 2.) 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 = + ∫ ∫ − − xxk a xxkxf dcos 2 dcos)( 0 π π π π ∑ ∞ = ⎢⎣ ⎡ + n 1 + ∫ − n dcoscos xxnxka π π n dsincos xxnxkb ∫ − π π k dcos xxka 2 ∫ − = π π = a k π xxkxfak dcos)( 1 ∫ − ∴ = π π π k = "),2,1( (利用正交性) ⎥⎦ ⎤ ),2,1(dsin)( 1 = ∫ = " − kxxkxfbk π π π d)( xxfa 1 0 ∫− ∴ = π π π 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得

f0x)-2 +2(a,cosx+bsinnx） 00 ① n=1 a.=5/cos2dxm=0.1） 6=号f)simndx (n=l2 ② 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数. 傅里叶，J.B. 2009年7月27日星期一 7 目录○ 上页今下页 返回

2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ∑( ) ∞ = += + 1 0 cos sin 2 )( n n n xnbxna a xf ∫− = = π π π ),1,0(dcos)( 1 n nxnxxfa " 由公式 ② 确定的 nn , ba ① ② 以 f x)( f x)( ∫− = = π π π ),2,1(dsin)( 1 n nxnxxfb " x)( 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 f

定理3（收敛定理，展开定理）设f(心)是周期为2π的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断，点； 2)在一个周期内只有有限个极值点， 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 a+∑(d+b sinn） 件比展成幂级数 2 n=1 的条件低得多. f(x), x为连续，点 1fx)+fx).x为间断点 2 利充营，PG 其中abn为fx)的傅里叶系数.（证明略） 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 设 f (x) 是周期为 2 π 的 周期函数 , 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件 : 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 ∑( ) ∞ = + + 1 0 cos sin 2 n n n nxbnxa a ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = f x ,)( , 2 )()( + − + xfxf x 为间断点 nn , ba 为 f (x ) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 其中 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 定理3 (收敛定理, 展开定理 )

例1设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 ,-π≤x<0 将fx)展成傅里叶级数. 解：先求傅里叶系数 ,-号/()coix comd-od =0 (n=0,1,2,.) 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 设 f (x) 是周期为 2 π 的周期函数 , 它在 ),[ 上的表达式为 −π π ⎩ ⎨ ⎧ <≤ − − ≤ < = π π x x xf 0,1,1 0 )( 解 : 先求傅里叶系数 ∫− = π π π xnxxfan dcos)( 1 ∫ ∫ −= ⋅+ − π π π π 0 0 dcos1 1 dcos)1( 1 xnx xnx = n = "),2,1,0(0 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x − 1 − π 1 π 例 1

f()sinnxdx 2（-)sinx+1sind a"]om-2-ow时 41- 当n=1,3,5,. 当n=2,4,6,. Isinsin3 3 2k- sin(2k-1)x+.] (-0<x<+0,x≠0，士π，±2π，. 2009年7月27日星期一 10 目录动 返回

2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 ∫− = π π π xnxxfbn dsin)( 1 ∫ ∫ −= ⋅+ − π π π π 0 0 dsin1 1 dsin)1( 1 xnx xnx 0 cos1 π − π ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = n nx π π 0 cos1 ⎥⎦ ⎤ − ⎢⎣ ⎡ + n nx [ ] π π n n cos1 2 −= [ ] n n )1(1 2 −−= π ⎩ ⎨ ⎧ = , 4 n π ,0 当 n = ,5,3,1 " 当 n = ,6,4,2 " ∴ xf [ sin x += 4 )( π 3sin x + 3 1 " +− " − + xk k )12sin( 12 1 ] (−∞ < x < + ∞ x ≠ ± π ± π "),2,0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束