华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第11章 微分方程 11.7 常系数齐次线性微分方程

第十一章 第七节常系数齐欢孩性微分方程 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation) 一、常系数齐次线性微分方程定义 二、常系数齐次线性方程解法 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 1 目录 。上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第七节 常系数齐次线性微分方程 第十一章 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation) 一、常系数齐次线性微分方程定义 二、常系数齐次线性方程解法 三、小结与思考练习

一、常系数齐次线性微分方程定义 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y”+py'+y=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+py'+qr=f(x) n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+ay++q+a,y=f(x) 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、常系数齐次线性微分方程定义 ′′ + ′ + qyypy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 ′ ′ + ′ + = xfqyypy )( 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 ( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y ay a y ay f x − − + ++ + = " ′ n 阶常系数线性微分方程的标准形式

二、二阶常系数齐次线性方程解法 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 2009年7月27日星期一 3 目录 (上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 二、二阶常系数齐次线性方程解法 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 (代数方程 )之根 转化

二阶常系数齐次线性微分方程： y”+py+9y=0(p,q为常数) ① 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令①的解为y=ex(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x=0 r2+pr+=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根， 1.当p-4q>0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：=ehx,y2=e2x 因此方程的通解为y=C1e1x+C2e2x 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ′′ + ′ + = qpyqypy 为常数),(0 xr = ey ( 0) 2 =++ xr e qprr 0 2 qrpr =++ 和它的导数只差常数因子 , 代入①得 称②为微分方程①的特征方程 , 1. 当 04 2 qp >− 时 , ②有两个相异实根 , 21 r,r , 1 方程有两个线性无关的特解 1 : r x = ey , 2 2 r x = ey xrxr eCeCy 1 2 因此方程的通解为 1 += 2 ( r 为待定常数 ), xr 因为 r 为常数时,函数 e ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根 . 二阶常系数齐次线性微分方程 :

2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =号，则微分方程有一个特解片=ehx, 设另一特解y2=y1u(x)=e1u(x) (u()待定) 代入方程得： ex[(u”+2i+r2u)+p(t+片w)+qu]=0 W"+(21+p)u'+(r2+ph+9)u=0 注意片是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)enx 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 04 2 qp =− 时 , 特征方程有两个相等实根 21 = rr 则微分方程有一个特解 )( 12 设另一特解 y = y xu ( u (x) 待定 ) 代入方程得 : [ 1 xr e )( 1 )2( + ′ + urup + uq ] = 0 2 11 ′′ + ′ + ururu 1 注意 r 是特征方程的重根 u ′′ = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x = exy 因此原方程的通解为 r x exCCy 1 )( += 21 , 2 − p = . 1 1 r x = ey )( 1 xuer x = ()2( 0) 1 2 ′′ 1 ++ ′ 1 uqrprupru =+++ 2. 当

3.当p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根 n=a+iB,r=a-iB 这时原方程有两个复数解： ye()x=e(cosBx+isin Bx) y2=e(aip)x=ex(cosBx-isin Bx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解： 月=20M+y2)=excosBx y2=2i(y1-y2)=eaxsin Bx 因此原方程的通解为 y=ex(C]CosBx+C2 sinBx) 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 04 2 qp <− 时 , 特征方程有一对共轭复根 1 = α + β, 2 = α − irir β 这时原方程有两个复数解 : xi ey )( 1 α + β = (cos xixe )sin x ββ α = + xi ey )( 2 α − β = (cos xixe )sin x ββ α = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解 : )( 2 21 1 1 += yyy )( 2 21 1 2 yyy i −= xe x β α = cos xe x β α = sin 因此原方程的通解为 cos( )sin 1 2 xCxCey x β β α = + 3. 当

小结 y"+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程：2+pr+q=0,特征根：1,2 特征根 通 解 1≠？实根 y=Cen*+Czex 片=2=-号 y=(C1+C2x)ex h,2=a±iB y=ex(C CosBx+C2 sinBx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程. 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 : ′′ + ′ + = qpyqypy 为常数),(0 ,0 2 特征方程 : qrpr =++ xrxr eCeCy 1 2 1 += 2 21 ≠ rr 实根 21 特征根 ,: rr 21 2 p rr −== xr exCCy 1 )( += 21 ,21 = α ± ir β cos( )sin 1 2 xCxCey x β β α = + 特征根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 小结

推广： ym)+aym-)+.+an-1y+any=0(ak均为常数) 特征方程：rn+a1r"-1+.+an-r+an=0 若特征方程含I重实根r,则其通解中必含对应项 (C+C2x+.+Cx-1)e' 若特征方程含m重复根r=a士iB,则其通解中必含 对应项 ex[(C+C2x++Cx)CosBx+ +(D+Dx+.+Dx")sin Bx] (以上C,D,均为任意常数) 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 若特征方程含 m 重复根 = α ± ir β, 若特征方程含 l 重实根 r , 则其通解中必含对应项 1 1 2 ( ) l rx C Cx Cx e k − + ++ " 1 1 2 [ ( ) cos x m k e C Cx Cx x α β − + + + " + 1 1 2 ( ) s i n ] m D Dx Dx x k β − + + ++ " 则其通解中必含 对应项 (0 ) 1 )1( 1 n)( yay n − "+++ n − ′ n =+ ayaya k 均为常数 特征方程: 0 1 1 1 − =++++ − nn nn " ararar 以上 ,( 均为任意常数 ) DC ii 推广 :

例1求方程y"-2y'-3y=0的通解.（补充题） 解：特征方程r2-2r-3=0,特征根：1=-1,2=3， 因此原方程的通解为y=C1ex+C2e3x +5=0 (补充题) 例2.求解初值问题〈 dt ds S1=0=4, lt=0=-2 解：特征方程r2+2r+1=0有重根1=2=-1， 因此原方程的通解为s=(C1+C2t)e 利用初始条件得 C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)t 2009年7月27日星期一 9 目录 上页> 下页 、返回

2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 求方程 ′′ − ′ − yyy = 032 的通解 . ,032 2 rr =−− ,3,1 解 1 2 : 特征方程 特征根 : = − rr = 因此原方程的通解为 x x eCeCy 3 1 += 2 − 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 s =++ t s t s s t = 0 = ,4 2 d 0 d −= t t = s 解 : 特征方程 012 2 rr =++ 有重根 ,1 = rr 21 = − 因此原方程的通解为 t etCCs − += )( 21 利用初始条件得 ,4 C1 = 于是所求初值问题的解为 t ets − += )24( 2 C 2 = 例 1 （补充题） （补充题）

例3求方程y"+2y+5y=0的通解 解：所给微分方程的特征方程为 r2+2r+5=0 它有一对共轭虚根1=-1+2i, 3=-1-2i 故所求通解为 y=e *(C cos2x+C2 sin2x) 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 例 3 求方程 y yy ′′ ′ + 2 50 + = 的通解． 解 :所给微分方程的特征方程为 2 r r + 2 50 + = 它有一对共轭虚根 1 r =− +1 2i, 2r = − −1 2i 故所求通解为 e cos 2 sin 2 ( 1 2 ) x y C xC x − = +