华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第08章 重积分 8.3 三重积分

第八章 第三节三重积分(Triple Integrals) 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结与思考练习 2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回

2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回 第三节 三重积分 第八章 (Triple Integrals) 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结与思考练习

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim∑μ(5k,7&,5k)Avg △VK →0 k=1 (5k,刀，56) 2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回

2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k μ ξ η ζ ),( Δ v Ω ),(ξ η ζ kkk k Δ v 引例 : 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, μ x y z ∈ C,),( 求分布在 Ω 内的物质的 可得 ∑ = n k 1 0 lim λ→ M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法 : 质量 M . 密度函数为

定义设f(x,y,),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割： △yk(k=1,2,.,n),任意取点(5k,k,5k)∈△yk,下列“乘 积和式”极限 工f5,%,54)A,2作fcx,y=d如 2→0k=1 存在，则称此极限为函数∫(x,y,)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 f(x.y.2)dv=f(.n.c)v 2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 、返回

2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 返回 f x y z x y z ∈ Ω,),(,),( kkk n k k ∑ f Δ v → = ),(lim 1 0 ζηξ λ 存在, f x y z),( ∫∫∫Ω d),( vzyxf d v称为体积元素 , dx dy dz. 若对 Ω 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 Ω上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 n),2,1( 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 v k Δ k = " ,),( k k k k ξ η ζ ∈ Δ v 下列 “ 乘 中值定理 . 设 f x y z),( 在有界闭域 Ω 上连续, 则存在 ξ η ζ ∈ Ω,),( 使得 ∫∫∫Ω d),( vzyxf = f ξ η ζ ),( V V 为 Ω 的 体积, 积和式 ” 极限 记作 定义 设

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数∫(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1.投影法(“先一后二) 方法2.截面法（“先二后一) 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 、返回

2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f yx z ≥ ,0),( 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:

方法1.投影法(“先一后二”) 2=22(x,y) 秀列 细长柱体微元的质量为 .-)dy 2=21(xy) 该物体的质量为 f(w.y.=)dv dxdy )ndy 微元线密度≈ 作川dd-d f(x,y,z)dxdy 2009年7月25日星期六 5 目录 (上页下页 返回

2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回 z x y D ∫∫ = D dd yx ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ≤ ≤ Ω Dyx z yx z z yx ),( ),(),( : 1 2 yxzzyxf yxz yxz ddd),( ),( ),( 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 该物体的质量为 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf ∫∫ ∫ D yxz yxz zzyxfyx ),( ),( 2 1 dd d),( f x y z xdd),( y ),( 2 y 细长柱体微元的质量为 z = z x ),( 1 z = z x y d x d y 微元线密度≈ 记作 方法1. 投影法 ( “先一后二 ” )

方法2.截面法(“先二后一”) 3 以D,为底，dz为高的柱形薄片质量为 (j∬nfx,y,a)dxdy)dz 该物体的质量为 面密度≈ f(x.y.=)dv f(x,y,z)dz =∫∬.f.y.)dxd)d 记作0d川n,fxy=dxdy 2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回

2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回 a b ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ∈ Ω bza yx D z ),( : 以 D z为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ( ∫ = b a ∫ ∫D Z dd),( yxzyxf ∫∫∫ D Z b a dd),(d yxzyxfz d z z D z ( ) ∫∫D z dd),( yxzyxf f yx z d),( z 面密度≈ ) d z 记作 Ω 方法2. 截面法 ( “先二后一 ” )

方法3.三次积分法 21(x,y)≤z≤22(x,y) 设2政icn 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得： f(.y.=)dv xdy 投影法 .dvd 2009年7月25日星期六 7 目录 上页今 下页 、返回

2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 返回 投影法 设区域 Ω : ⎩ ⎨ 利用投影法结果 , ⎧ ≤≤ ≤ ≤ ∈ bxa y x yy x Dyx )()( :),( 1 2 ),(),( 1 2 z x y ≤ z ≤ z x y 把二重积分化成二次积分即得: ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫ = ),( ),( 2 1 dd d),( yxz yxzD zzyxfyx ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫ = b a d x ∫ ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf ∫ )( )( 2 1 d xy xy y 方法3. 三次积分法

当被积函数在积分域上变号时，因为 f(x,y,=) f(x,y,2)+f(x,y,)f(x,y,2)-f(x,y,z) 2 2 =f(xy,2）-f2(x,y,2) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回

2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回 当被积函数在积分域上变号时, 因为 f x y z),( 2 f yx z − f yx z),(),( − ),( 1 = f x y z ),( 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f yx z + f yx z),(),( =

小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” .d-d 方法2.“先二后一” ,)dv=d可，fx,yixd 方法3.“三次积分” dv-dy 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 、返回

2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 返回 方法1. “先一后二 ” 方法2. “先二后一 ” 方法3. “三次积分 ” ∫∫∫ = ),( ),( 2 1 dd d),( z x y yxzD zzyxfyx ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫ = D Z b a dd),(d yxzyxfz ∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 dd d),( yxz yxz xy xy b a zzyxfyx 具体计算时应根据 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫Ω d),( vzyxf 三种方法 (包含12种形式 )各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 小结: 三重积分的计算方法

例1计算三重积分∫xdxdyd-,.其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：2：0≤y≤(1-x) 0≤x≤1 xdxdyd= 1-2 2 oxdx dypd =6dx-“-x-2yy =46x-2x2+a= 48 2009年7月25日星期六 10 目录○ 上页 下页 、返回

2009年7月25日星期六 10 目录 上页 下页 返回 ∫∫∫ ,ddd 其中 Ω 为三个坐标 Ω zyxx x + y + z =12 所围成的闭区域. 1 x y z 1 2 1 解: Ω : ∫∫∫Ω ∴ ddd zyxx ∫∫ − = −− )1( 0 1 0 2 1 d)21(d x xx yyx ∫ − − yx z 21 0 d ∫ +−= 1 0 32 d)2( 4 1 xxxx ≤ z ≤ − − 210 yx )1(0 2 1 ≤ ≤ − xy ≤ x ≤10 ∫ − )1( 0 2 1 d x y ∫ = 1 0 d xx 48 1 = 面及平面 例 1 计算三重积分