华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第08章 重积分 8.1 二重积分的概念与性质

第章重积分 (Double 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第八章 重 积 分 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 （Double

主要阳容 第一节二重积分的概念与性质 第二节二重积分的计算方法 第三节三重积分 第四节重积分的应用 2009年7月6日星期一 3 目录○ 上页下页 返回

2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 主要内容 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算方法 第三节 三重积分 第四节 重积分的应用

第八章 第一节二重积分的橇念与性质 (Conception and property of double integral) 一、二重积分的概念 二、二重积分的性 三、小结与思考练 2009年7月6日星期一 4 目录○ (上页今 下页 返回

2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 第一节 二重积分的概念与性质 第八章 （Conception and property of double integral ） 一、二重积分的概念 二、二重积分的性 三、小结与思考练

一、二重积分的概念 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体： 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “大化小，常代变，近似和，求极限” 2009年7月6日星期一 5 目录○ 、上页>下页返回

2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 一、二重积分的概念 解法 : 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z = f yx ≥ 0),( 底： xoy 面上的闭区域 D 顶 : 连续曲面 侧面： 以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求极限 ” D z = f yx ),(

)“大化小” 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) △01，△02，.，△0n 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5k,) 小曲顶柱体 D 2)“常代变” (5k,7) △OK 在每个△ok中任取一点(5k,7k),则 △Vk≈f(5k,k)△ok(k=1,2,.,n) 3)“近似和” V=∑AW≈∑f5k,k)△oA k=1 k=1 2009年7月6日星期一 6 目录○ (上页今 下页 返回

2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 D z = f yx ),( 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个区域 σ ΔΔ σ Δσ n , 21 " 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 Δσ k ,),(ξ k ηk 3)“近似和” ∑ = Δ= n k V Vk 1 ∑ = ≈ Δ n k kkk f 1 ),( σηξ ),( k k f ξ η V f k n),2,1(),( k ≈Δ ξ k ηk Δσ k = " 中任取一点 则 小曲顶柱体 Δ σ k ( , ) ξ k ηk

4)“取极限” 定义△o的直径为 (△ok)=max{PPh,P2∈△ok} 令元=max{(△ok)} 2=f(x,y) l≤k≤n f(5k,) V=lim∑f(5k,k)△ok 元→0k=1 (5k,7k) △Ok 2009年7月6日星期一 7 目录○ 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 4)“取极限” 定义 Δσ k 的直径为 λ Δ σ k = max)( { ,PPPP 2121 ∈ Δ σ k } 令 { )(max } 1 k k n λ = λ Δ σ ≤ ≤ ∑ = → = Δ n k kkk V f 1 0 ),(lim σηξ λ z = f yx ),( ),( k k f ξ η Δ σ k ( , ) ξ k ηk

2.平面薄片的质 有一个平面薄片，在xOy平面上占有区域D,其面密 度为u(x,y)∈C,计算该薄片的质量M. 若4(x,y)三u(常数)设D的面积为o,则 M=u·O 若u(x,y)非常数，仍可用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 解决 1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,△on, 相应把薄片也分为小区域， 2009年7月6日星期一 8 目录○ (上页今 下页 返回

2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 μ x y ∈ C,),( 计算该薄片的质量 M . 若 μ yx ≡ μ 常数),(),( 设D 的面积为 σ , 则 M = μ ⋅σ 若 μ x y),( 非常数 , 仍可用 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限 ” 解决. 1)“大化小” , 21 n 其面密 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 Δσ Δσ " Δσ 相应把薄片也分为小区域 . D y x 2. 平面薄片的质

2)“常代变” 在每个△ok中任取一点(5k,门k),则第k小块的质量 △Mk≈u(5k,7k)Aok(k=1,2,.,n) 3)“近似和” y M=2AM≈2u(5a,s)c k=1 k=1 4)“取极限” 令=max{2(Aok)} (5k,7k)△Ok 1≤k≤n M=lim∑u(5k,k)Ao& 元→0k=1 2009年7月6日星期一 9 目录○ 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 2)“常代变” 在每个 Δσ k 中任取一点 ),(ξ k η k 3)“近似和” ∑ = Δ= n k MM k 1 ∑ = ≈ Δ n k kkk 1 ),( σηξμ 4)“取极限” { )(max } 1 k k n λ = λ Δ σ ≤≤ 令 ∑ → = = Δ n k M kkk 1 0 ),(lim σηξμ λ Δ σ k ),(ξ k ηk M k n),2,1(),( Δ k ≈ μ ξ k ηk Δσ k = " 则第 k 小块的质量 y x

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 “大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V=lim∑f(5k,k)△ok 元-→0k=1 平面薄片的质量： M=1im∑4(5k,k)△ax →0k=1 2009年7月6日星期一 10 目录会 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限 ” ∑ = → = Δ n k kkk V f 1 0 ),(lim σηξ λ ∑ → = = Δ n k M kkk 1 0 ),(lim σηξμ λ 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

定义设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小区域△ok(k=1,2,.,n), 任取一点(5k,门k)∈△ok,若存在一个常数I,使 1-网2f,)Aa记作 元→0 川fx,y)do k=1 则称f(x,y) 可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 Sf.no x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 2009年7月6日星期一 11 目录 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 11 目录 上页 下页 返回 设 f x y),( 将区域 D 任意分成 n 个小区域 k n),2,1( Δ σ k = " 任取一点 ,),(ξ k ηk ∈ Δ σ k 若存在一个常数 I , 使 ∑ = → = Δ n k kkk fI 1 0 ),(lim σηξ λ 则称 yxf ),( 可积 , ∫ ∫ D yxf d),( σ 为称 yxfI ),( 在 D上的二重积分. , yx 称为积分变量 积分和 ∫ ∫D yxf d),( σ 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 定义 是定义在有界区域 D上的有界函数