华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第11章 微分方程 11.1 微分方程的基本概念

第十一章般分方程 主要内容(Differential Equations) 第一节微分方程的基本概念 第二节变量分离方程 第三节一阶线性微分方程 第四节全微分方程 第五节可降阶的高阶微分方程 第六节高阶线性微分方程 第七节常系数齐次线性微分方程 第八节常系数非齐次线性微分方程 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第十一章 微分方程（Differential Equations ） 第一节 微分方程的基本概念 第二节 变量分离方程 第三节 一阶线性微分方程 第四节 全微分方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第六节 高阶线性微分方程 第七节 常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性微分方程 主要内容

第十一章 第一节微分方程的基本桡念 Basic concept of differential equations) 微分方程理论是在十七世纪末开始发展起来的，几 乎与微积分的计算同时产生.现在，微分方程已经成为研 究自然现象的强有力的工具.人们曾经利用微分方程的相 关理论，预测了海王星在天空中的位置，并找到了海王 星 本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用 的微分方程的解法。 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 第一节 微分方程的基本概念 第十一章 （Basic concept of differential equations ） 微分方程理论是在十七世纪末开始发展起来的，几 乎与微积分的计算同时产生．现在，微分方程已经成为研 究自然现象的强有力的工具．人们曾经利用微分方程的相 关理论，预测了海王星在天空中的位置，并找到了海王 星． 本章主要介绍微分方程的一些基本概念 和几种常用 的微分方程的解法．

定义1含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的 等式就叫做微分方程. 例如，(1) +P(x)y=Q(x), (2) dx d岁+my=Asinwx (3) d'y =xy, (4)x2y"+(y)°-4xy3=7x0 dx2 (5) u (6) =0, 2 都是微分方程. 定义2不含偏导数或偏微分的微分方程称为常微分方程； 含有偏导数或偏微分的微分方程称为偏微分方程. 例如，方程（1)~（4)是常微分方程；方程(5)，（6) 是偏微分方程.本章只限讨论常微分方程，并简称微分方程 （或称方程). 2009年7月27日星期 4 目录 、上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 定义 1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的 等式就叫做微分方程． 例如， （ 1 ） d () () d y P xy Qx x + = ， （ 2 ） 2 2 2 d sin d y my A x x + = ω ， （ 3 ） 2 2 d d y xy x = ， （ 4 ） 2 6 51 0 x y y xy x ′′′ ′ +−= () 4 7 ， （ 5 ） 2 2 u u x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ， （ 6 ） 2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ， 都是微分方程． 定义 2 不含偏导数或偏微分的微分方程称为常微分方程； 含有偏导数或偏微分的微分方程称为偏微分方程． 例如，方程（ 1）～（ 4）是常微分方程；方程（ 5），（ 6 ） 是偏微分方程．本章只限讨论常微分方程，并简称微分方程 （或称方程）．

定义3微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分)的 最高阶数，叫做微分方程的阶. 例如， +Pxy=Q(x)是一阶微分方程 dx 昌部+y三小5n0r是三阶微分方香 x2y"+(y)6-4xy5=7x0是三阶微分方程 定义4满足微分方程的函数称为微分方程的解。 例1验证：函数 y=Ce+C2ex(其中，C,C2,为常数) 是微分方程 y"-(2+22)y'+人22y=0 的解. 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 定义 3 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分） 的 最高阶数，叫做微分方程的阶． 例如， d () () d y Pxy Qx x + = 是一阶微分方程 2 2 2 d sin d y m y A x x + = ω 是二阶微分方程 2 6 51 0 x y y xy x ′′′ ′ +−= () 4 7 是三阶微分方程 定义 4 满足微分方程的函数称为微分方程的解． 例 1 验证：函数 1 2 1 2 e e x x yC C λ λ = + （其中， C1 ，C2 ，λ1，λ2为常数） 是微分方程 1 2 12 y yy ′′ ′ − () 0 λ λ λλ ++ = 的解．

证：对y=C,e+C2e两边分别取一阶导数和二阶导数，得 y=(C+C2e)=CC2 ex y"=(ACC)=C+C ekar 将y,y,y”代入方程的左边，得 左边=(22C,ex+2C2ex)-(☑+2)1，C,e+2C2ex) +22(C,ex+C2ex)=0=右边. 所以函数y是该方程的解. 注意到，本例中的函数y=C,e+C2ex中有两个常数 C,C2,它们可以取不同的实数，从而可得到微分方程 y”-(+12)y+y=0的无穷多个解.一般地，我们有以 下概念： 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 证： 对 1 2 1 2 e e x x yC C λ λ = + 两边分别取一阶导数和二阶导数，得 12 1 2 1 2 11 2 2 (e e) e e x x xx yC C C C λ λ λλ ′ ′ =+ = + λ λ 12 1 2 2 2 11 2 2 1 1 2 2 ( e e) e e x x xx yC C C C λ λ λλ ′′ = + =+ λλ λ λ ′ 将 y ， y′， y′′ 代入方程的左边，得 左边 2 2 1 2 1 2 11 22 1 2 11 2 2 ( e e ) ( )( e e ) x x x x CC CC λ λ λ λ = + −+ + λ λ λ λλ λ 1 2 12 1 2 (e e) x x C C λ λ + + λ λ = 0 = 右边． 所以函数 y 是该方程的解． 注意到，本例中的函数 1 2 1 2 e e x x yC C λ λ = + 中有两个常数 C1 ， C2 ，它们可以取不同的实数，从而 可 得 到 微分方 程 1 2 12 y yy ′′ −+ + = () 0 λ λ λλ ′ 的无穷多个解．一般地，我们有以 下概念：

定义5如果微分方程的解中含有任意变化的常数，且任意变 化的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方 程的通解 注意：这里所说的任意变化的常数是相互独立的，就是说， 它们不能合并而使得任意常数的个数减少，详见本章第六节关 于函数的线性相关性). 由于通解含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某 一种客观事物的规律性.因此，必须根据问题的实际情况提出 某些特定的条件，即当自变量取特定值时，未知函数或其导数 对应的确定值，这种定解的条件称为初始条件（或初值条件). 定义6确定了通解中的任意常数后的解叫做微分方程的特解 定义7求微分方程的解的过程叫做解微分方程. 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 定义 5 如果微分方程的解中含有任意变化的常数，且任意变 化的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分 方 程的通解． 注意：这里所说的任意变化的常数是相互独立的，就是说， 它们不能合并而使得任意常数的个数减少，详见 本章第六节 关 于函数的线性相关性）． 由于通解含有任意常数，所以它还 不能完全确定地反映某 一种客观事物的规律性．因此， 必须根据问题的实际情况提 出 某些特定的条件，即当自变量取特定值时，未知函数或其导数 对应的确定值，这种定解的条件称为初始条件（或初值条件 ）． 定义 6 确定了通解中的任意常数后的解叫做微分方程的特解． 定义 7 求微分方程的解的过程叫做解微分方程．

例2确定函数y=C,si(x-C,)中所含的参数C,C2,使 函数满足初始条件y川xm=1,y=元=0. 解：对函数y=Csin(x-C2)两边求导，得 y'=C cos(x-C2) 将yx元=1和y|==0分别代入 y=C sin(x-C2),y'=C cos(x-C2), 得 C sin C2 =1,C cosC2=0. 由C1sinC2=1知，C≠0，故cosC2=0,从而 C.=2kx±5(ke2 C1=±1， 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 例 2 确定函数 1 2 yC xC = − sin( ) 中所含的参数 1 2 C C, ，使 函数满足初始条件 1 x y =π = ， 0 x y =π ′ = ． 解：对函数 1 2 yC xC = − sin( ) 两边求导，得 1 2 y′ = − C xC cos( ). 将 1 x y = π = 和 0 x y = π ′ = 分别代入 1 2 yC xC = − sin( ) ， y′ 1 2 = − C xC cos( ) ， 得 1 2 C C sin 1 = ， 1 2 C C cos 0 = . 由 1 2 C C sin 1 = 知， 1 C ≠ 0 ，故 2 cos 0 C = ，从而 2 1 2 ( ), 2 1, C k kZ C ⎧ π ⎪ = π± ∈ ⎨ ⎪ ⎩ = ±

C1=1, G=-1 即 C,-2+e2 或 π-2 (k∈Z), 所以，所求函数为y=-Cosx. 课外练习 习题11-1 1;2(奇数题)；3(1)；4；5（奇数题） 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 即 1 2 1, 2 () 2 C C k kZ ⎧ = ⎪ ⎨ π ⎪ = π+ ∈ ⎩ 或 1 2 1, 2 ( ), 2 C C k kZ ⎧ = − ⎪ ⎨ π ⎪ = π− ∈ ⎩ 课外练习 习题11-1 1; 2（奇数题）； 3 （ 1）； 4 ； 5（奇数题） 所以，所求函数为 y x = −cos ．