华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第10章 无穷级数 10.2 常数项级数的审敛法

第十章 第二节常数项级数的审敛法 Interrogate of constant term series) 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第二节 常数项级数的审敛法 第十章 （Interrogate of constant term series ） 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习

一、正项级数及其审敛法 (Interrogate of positive term series) 若4n≥0，则称∑4n为正项级数. n=lco 定理1正项级数∑4n收敛一部分和序列Sm n=] (n=1,2,.)有界. 证：“一”若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界. n=l 6 一”4n≥0，.部分和数列{Sn}单调递增， 99 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛. n=l 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、正项级数及其审敛法 若 ≥ ,0 n u ∑ ∞ n = 1 n u 定理 1 正项级数 ∑ ∞ n = 1 n u 收敛 部分和序列 n S n = "),2,1( 有界 . 若 ∑ ∞ n = 1 n u 收敛 , 则{ }收敛, n S ≥ ,0 n ∵ u ∴部分和数列 { S n } { S n } 有界, 故 { S n } ∑ ∞ n = 1 n 又已知 收敛 , 从而 u 也收敛 . 故有界 . 则称 为正项级数 . 单调递增, 证: “ ” “ ” (Interrogate of positive term series)

0 定理2（比较审敛法） 设∑4n,∑n是两个正项级数， n=1n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有4n≤kyn(常数k>0), 则有 (山)若强级数∑yn收敛，则弱级数∑4n也收敛； n=l n=l 00 (2)若弱级数∑山n发散，则强级数∑也发散. n=l n=l 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切n∈Z+,都有un≤kvn, 令Sn和on分别表示弱级数和强级数的部分和，则有 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 , + ∈ Zn , nn 都有 u ≤ k v 设 , 1 ∑ ∞ n = n u ∑ ∞ n = 1 n v 且存在 , + ∈ ZN 对一切 n > N, 有 (1) 若强级数 ∑ ∞ n = 1 n v 则弱级数 ∑ ∞ n = 1 n u (2) 若弱级数 ∑ ∞ n = 1 n u 则强级数∑ ∞ n = 1 n v 证 : 设对一切 S n 和令 σ n 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . nn v 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 u ≤ k 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 定理2 (比较审敛法 )

Sn≤kon 00 (1)若强级数∑yn收敛，则有o=lim n->oo n=l 因此对一切n∈Z,有Sn≤ko 由定理1可知，弱级数∑4，也收敛. n=l 00 (2)若弱级数∑，发散，则有1imSn=o, n=1 n→o∞ 因此imo=0,这说明强级数∑n也发散. n→o n=l 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 (1) 若 强级数∑ ∞ n = 1 n v 则有 n n σ σ → ∞ = lim 因此对一切 , + ∈ Zn 有 n S 由定理 1 可知 , ∑ ∞ n = 1 n u (2) 若 弱级数 ∑ 则有 ∞ n = 1 n u = ∞,lim→ ∞ n n S 因此 = ∞ ,lim ∞→ n n σ 这说明 强级数 ∑ ∞ n = 1 n v 也发散 . ≤ k σ n S n ≤ k σ 也收敛 . 发散, 弱级数 收敛

定理3（比较审敛法的极限形式）设两正项级数 0 ∑4，∑n满足1im=L,则有 n=l n=l n-→oVn (1)当00，存在N∈Z+,当n>N时， 路-1<8(*0) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 , 1 ∑ ∞ n = u n ∑ ∞ n = 1 n v l,lim v u n n n = ∞→ 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 , 1 且 ∑ 收敛时 ∞ n = n v ; 1 ∑ 也收敛 ∞ n = u n (3) 当 l = ∞ , 1 且 ∑ 发散时 ∞ n = n v . 1 ∑ 也发散 ∞ n = u n 证 : 据极限定义 , 对 ε > ,0 , + 存在 ∈ ZN l Nn 时, 定理3 (比较审敛法的极限形式 )

(1-8)yn≤4n≤(1+&)vn (n>N) 0 00 (1)当0N),由定理2知 0 0 若∑yn收敛，则∑山n也收敛； 吉=陈府在NeZ当N时1，仰 n=l n=l un >Un 00 由定理2可知，若∑'n发散，则∑4n也发散。 n=] n=l 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 nn n − ε ≤ ≤ + ε )()( vluvl 取 ε N nvlu N),()( 利用 n (3) 当l = ∞时 , , + 存在 ∈ ZN 当 > Nn 时, > ,1 n n v u nn 即 u > v 由定理 2可知, 若 ∑ ∞ n = 1 n v 发散 , ; 1 则 ∑ 也收敛 ∞ n = n u 由定理2 知 ∑ (1) 当0 < l <∞时 , (2) 当l = 0 时 , ∞ n = 1 n 若 v 收敛 , . 1 则 ∑ 也发散 ∞ n = u n

例1证明级数 1 是收敛的. 3”+1 1 3”+1 是收敛的. 例2判别级数1 (a>0)的收敛性. 台1+an 解：(1)当0<a<1时， 11 lim- =1≠0， n-o1+a”1+0 所以 发散 2009年7月27日星期一 7 目录○ 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例 1 证明级数 1 1 3 1 n n ∞ = + ∑ 是收敛的． 解： 1 1 3 13 n n ≤ + 且 1 1 3 n n ∞ = ∑ 收敛 1 1 3 1 n n ∞ = + ∑ 是收敛的． 例 2 判别级数 1 1 ( 0) 1 n n a a ∞ = > + ∑ 的收敛性． 解： （ 1）当0 1 < a < 时， 1 1 lim 1 0 1 10 n n→∞ a = = ≠ + + ， 所以 1 1 1 n n a ∞ = + ∑ 发散．

(2)当a=1时， 11 所以了1 1+a2*0, lim 发散 台1+a” (3)当a>1时， 由于级数 日收敛，所以级颜正 1+a 收敛。 综上所述，当01时， 原级数收敛. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 1 1 lim 0 1 2 n n→∞ a = ≠ + ， （ 2）当 a = 1时， 所以 1 1 1 n n a ∞ = + ∑ 发散． （ 3）当 a > 1时， 1 1 1 n n a a ⎛ ⎞ 1 时， 原级数收敛．

例3讨论D级数1+1 的敛散性. 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z+, 1 n 而调和级数∑。发散，由比较审敛法可知p级数 00 1 n=1h 发散. 2009年7月27日星期一 9 目录○ 上页 下页 返回

2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 pp p +++++ "" n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解 : 1) 若 p ≤ ,1 因为对一切 , + ∈ Zn 而调和级数 ∑ ∞ = 1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数∑ ∞ = 1 1 n p n n 1 ≥ 发散 . 发散 , p n 1 例 3 讨论 p 级数

2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时， 1 、1 故 scd-点 . 1 +]1aw ,1 故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛， 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回

2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 p > ,1 因为当 n − 1 ≤ x ≤ n , 11 pp n x ≤ 故 ∫ − = n p n p x nn 1 d 11 ∫ − ≤ n n p x x 1 d 1 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ − = −− 11 1 )1( 1 1 1 pp p n n 考虑强级数 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ −− ∞ = ∑ 11 2 1 )1( 1 pp n nn 的部分和 σ n ⎥⎦ ⎤ + − ⎢⎣ ⎡ = − − = ∑ 1 1 1 )1( 11 p p n k kk n → ∞ 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时 , 1 )1( 1 1 − + −= p n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 −− 11 − 1 − 1 )1( 11 3 1 2 1 2 1 1 p pp p p nn " 1 2) 若