西安电子科技大学：《计算方法》课程教学资源（PPT课件）插值与数据拟合（3/3）

样条插值与最小二乘拟合 三次样条插值背景 三次样条插值的分类 三次样条插值函数的构造 ·最小二乘拟合意义 ·矛盾方程组的最小二乘解 。多项式最小二乘拟合方法

样条插值与最小二乘拟合 • 三次样条插值背景 • 三次样条插值的分类 • 三次样条插值函数的构造 • 最小二乘拟合意义 • 矛盾方程组的最小二乘解 • 多项式最小二乘拟合方法

三次样条插值背景 >分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够 理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求 高，如：流线型机翼、船体设计 >设想这样一插值曲线：次数不高于3次，整 个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插 值

三次样条插值背景 ➢分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够 理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求 高，如：流线型机翼、船体设计 ➢设想这样一插值曲线：次数不高于3次，整 个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插 值

§4.6三次样条插值 定义4.6.1设a=x<x1<<xn=。三次样条函数S(x)∈C2[,b1, 且在每个x,xl上为三次多项式。若它同时还满 足S(x)=f(x,(i=0,.,m),则称它为f的三次样条插值函数。 定义的另一种形式：设函数f(x)是区间α，b]上的二次连续可微函数， 在区间a,b]上给出一个划分 △：a=x。<x<.<xm1<xn=b 如果函数s(x)满足条件 ①s(x)=f(x,)(j=0,1,2,n)月 (2)在每个小区间[x,-,x,](j=1,2,n)上s(x)是不超过 三次多项式： (3)在开区间(a,b)上s(x)有连续的二阶导数， 则称s(x)为区间[a,b]对应于划分△的三次样条函数

§4.6 三次样条插值 定义4.6.1 设 。三次样条函数 , 且在每个 上 为 三次多项式 。 若它同时还满 足 ，则称它为 f 的三次样条插值函数。 a = x0  x1  .  xn = b ( ) [ , ] 2 S x C a b [ , ] xi xi+1 S(x ) f (x ), (i 0, . ,n) i = i = 则称 为区间 对应于划分 的三次样条函数。 在开区间（ ）上 有连续的二阶导数 三次多项式； 在每个小区间 上 是不超过 （） 如果函数 满足条件 ： 在区间 ， 上给出一个划分 定义的另一种形式：设函数 是区间 上的二次连续可微函数，  = = =  =     = − − ( ) [ , ] (3) , ( ) , (2) [ , ]( 1,2,., ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 0,1,2,. ); ( ) . [ ] ( ) [ , ] 1 0 1 1 s x a b a b s x x x j n s x s x f x j n s x a x x x x b a b f x a b j j j j n n

样条插值与最小二乘拟合 ·三次样条插值背景 。 三次样条插值的分类 。 三次样条插值函数的构造 最小二乘拟合意义 ·矛盾方程组的最小二乘解 ·多项式最小二乘拟合方法

样条插值与最小二乘拟合 • 三次样条插值背景 • 三次样条插值的分类 • 三次样条插值函数的构造 • 最小二乘拟合意义 • 矛盾方程组的最小二乘解 • 多项式最小二乘拟合方法

三次样条插值的分类 设三次样条函数s(x)在每个子区间[x,x,]上有表达式 s(x)=s(x)=a x+bx'+cx+d xE(xx).j1.2.n 其中a,b,c,d,为待定常数，插值条件为 人人 0s(x)=fx)=0,1,nWnt1个条件 (2)(n-1)内节点处连续及光滑性条件： s(x,-0)=s(x,+0) S'(x,-0)=s(x,+0)j=1,2,n-1 s"(x,-0)=s"(x,+0) 3n-3个条件

三次样条插值的分类 1,2,., 1 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) (2) ( 1) 1 ( ) ( ) 0,1,., , , . ( ) ( ) ( , ), 1,2. ( ) [ , ] 1 3 2 1 = −       − =  +  − =  + − = + − = = = = + + +  − = − j n s x s x s x s x s x s x n s x f x j n a b c d s x s x a x b x c x d x x x j n s x x x j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 内节点处连续及光滑性条件： （） （ ）； 其中 为待定常数，插值条件为： 设三次样条函数 在每个子区间 上有表达式 n+1个节点 n各子区间 n+1个条件 3n-3个条件

三次样条插值的分类 对于待定系数a,b,c,d,j=1,2,n,即4n个未知系数， 而插值条件为4-2个，还缺两个，因此须给出两个 条件称为边界条件，有以下三类： 第一类已知两端点的一阶导数 s'(xo)=f(xo)=mo s'(x)=f(xn)=mm

三次样条插值的分类     =  =  =  = − = n n n j j j j s x f x m s x f x m n a b c d j n n ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 , , . 1,2,. , 4 0 0 0 第一类 已知两端点的一阶导数 条件称为边界条件，有以下三类： 而插值条件为 个，还缺两个，因此须给出两个 对于待定系数 即 个未知系数

三次样条插值的分类 第二类：.已知两端点二阶导数 s"(x)=f"(x)=M。 s"(x)=f"(x)=M 当M。=M=O时为自然边界条件 第三类：周期边界条件 s(x)=s(x)- 由数据特征决定 s(x)=s(x.) s"(x)=s"(x)

三次样条插值的分类 当 时为自然边界条件 第二类：已知两端点二阶导数 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 0 = =     =  =  =  = n n n n M M s x f x M s x f x M       =   =  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n n n s x s x s x s x s x s x 第三类：周期边界条件 由数据特征决定

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样条插值与最小二乘拟合 • 三次样条插值背景 • 三次样条插值的分类 • 三次样条插值函数的构造 • 最小二乘拟合意义 • 矛盾方程组的最小二乘解 • 多项式最小二乘拟合方法

三次样条插值函数的构造 用三弯矩阵构造三次样条插值函数 通常记为 设s"(x)=M,(i=0,1,2,n)。 Stil(x) 由于S(x)在区间可[x,x]上是三次多项式， 因此，S”(x)在区间[x,x,]上是线性函数，可表示为 S"(x)=x-x M.+x-xM 拉格朗日插值 X-x X一X- 令h则 保证了]与x,x☒间上S(x)一致，即 $元)=M花就养为二阶导数连续

三次样条插值函数的构造 设 。 用三弯矩阵构造三次样条插值函数 s (x ) M (i 0,1,2,.n)  i = i = i i i i i i i i i i i i M x x x x M x x x x S x S x x x S x x x 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) [ , ] − − − − − − − − + − −  = 因此，  在区间 上是线性函数 可表示为 由于 在区间 上是三次多项式， 通常记为 S [i](x) 拉格朗日插值 ，也就是内点二阶导数连续 保证了 与 区间上 一致，即 ( ) ( ) [ , ] [ , ] ( ) 0 0 1 1 − + − +  =   i i i i i i i S x S x x x x x S x i i i i i i i i i M h x x M h x x S x h x x 1 1 1 ( ) − − − − + −  = − 令 = − ，则

三次样条插值函数的构造 S"(x)=-XM,+M,积分2次， h h 可得Sx)和Sx): S(x)=-xx∑M+M+A 2h 2h S(x)=-()M+)M+4x+B 6h 6h 利用已知条件S(x)=y,S(x)=y,可求得A,B

三次样条插值函数的构造 i 积分2次， i i i i i M h x x M h x x S x 1 1 ( ) − − − + −  = − 可得 S'(x) 和 S(x) ： i i i i i i i M A h x x M h x x S x + − + −  = − − − 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 1 2 i i i i i i i i M Ax B h x x M h x x S x + + − + − = − − − 6 ( ) 6 ( ) ( ) 3 1 1 3 ( ) , ( ) , . i 1 i 1 i i Ai Bi 利用已知条件S x − = y − S x = y可求得