西安电子科技大学：《计算方法》课程教学资源（PPT课件）矩阵特征值与特征向量的计算

主要内容 ·矩阵特征值的概念与性质 ·幂法求取特征值与特征向量 ·反幂法求取特征值与特征向量 ·原点平移法 ·雅克比方法求特征值

主要内容 • 矩阵特征值的概念与性质 • 幂法求取特征值与特征向量 • 反幂法求取特征值与特征向量 • 原点平移法 • 雅克比方法求特征值

特征值与特征向量的概念 所谓阶矩阵A的特征值与特征向量指，如果数2和非零 列向量，满足关系式 Ax=Ax 则数称为A的特征值，非零列向量称为矩阵4与特征值) 对应的特征向量。 .Ax=x台（A-I)x=0,且x为非零向量 A-I=0 特征方程 特征方程的根2(i=1,2,.,n)就是A的特征值。 齐次线性方程组 (A-I)x=0 的非零解就是与对应的特征向量

特征值与特征向量的概念 对应的特征向量。 则 数 称 为 的特征值，非零列向量称为矩阵 与特征值 列向量 ，满足关系式 所 谓 阶矩阵 的特征值与特征向量是指，如果数 和非零     A x A Ax x x A = n ( ) 0 0  − = =  − = A I Ax x A I x x     ， 且 为非零向量 特征方程的根i (i =1,2,  ,n)就 是A的特征值。 ( ) 的非零解 就是与 对应的特征向量。 齐次线性方程组 i i i x A I x  −  = 0 特征方程

性质： ①如果入是方阵A的特征值，x是对应的特征向量，则 2是A的特征值，x是对应的特征向量。 ②如果入是方阵4的特征值，x是对应的特征向量，则 ax(a≠0)仍然是与对应的特征向量。 (3 如果2是非奇异矩阵4的特征值，x是对应的特征向量 则。是方阵A的特征值，x是A的与，对应的特征向量。 证：Ax=九x,台AAx=A'(x) 元A

是 的特征值， 是对应的特征向量。 （）如果 是方阵 的特征值， 是对应的特征向量，则 性质： i k k i i i A x A x  1  ( ) ( ) i k i i i k i k i k i i i A x A Ax A x A x Ax x −1 −1 −1  = = = =   证 ：   i k i A x 2 −2 =  i k i 仍然是与 对应的特征向量。 ==  x （）如果 是方阵 的特征值， 是对应的特征向量，则 i i i i ax a A x   (  0) 2 则 是方阵 的特征值， 是 的 与 对应的特征向量。 （）如果 是非奇异矩阵 的特征值， 是对应的特征向量， i i i i i A x A A x    1 −1 −1 1 3 ( ) i i i i i i i i i x A x Ax x A Ax A x 1 1 1 1 − − −  = =  =    证 ：

性质： ④设矩阵B=A-pL,如果入是方阵4的特征值， x是对应的特征向量，则 (几-p)是矩阵B的特征值，x是对应的特征向量。 结论1：通过适当选取参蜘总可以构造出矩郸，使得其 特征值的绝对值-p→0。 (⑤)如果矩阵B=A-pI为非奇异矩阵且2是方阵4的特征 值，x是对应的特征向量，则 是矩阵B的特征值，x是对应的特征向量。 2-p 结论2：通过适当选取参狮构造矩阵B,若B存在， 则可使其特征值的绝对值 2-p

( )是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量。 是对应的特征向量，则 （）设矩阵 如 果 是方阵 的特征值， 性质： i i i i p B x x B A pI A − = −  4 ,  ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i Bx A pI x Ax px x px p x Ax x  = − = − = − = − =   证 ：  是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量。 值 ， 是对应的特征向量，则 （）如果矩阵 为非奇异矩阵且 是方阵 的特征 i i i i B x p x B A pI A 1 1 , − − = −  5  则 是方阵 的特征值， 是 的 与 对应的特征向量。 （）如果 是非奇异矩阵 的特征值， 是对应的特征向量， i i i i i A x A A x    1 −1 −1 1 3 特征值的绝对值 。 结 论 ：通过适当选取参数总可以构造出矩阵 ，使得其 − p → 0 B i 1 p 则可使其特征值的绝对值 。 结 论 ：通过适当选取参数构造矩阵 ， 若 存在， →  − − p B B i 1 1 2 p

性质： (⑥设，是方阵A的n个特征值，p,p,p依次 是与之对应的特征向量如果2，几，2各不相等，则 P. P,p线性无关。 ()设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩啤，使PAP=B, 则称矩阵A与B相似，且A与B具有相同的特征值（特征 多项式)。 推论：若n阶方阵A与对角阵 相似，则2，入，.，入即是矩阵4的n个特征值

， ， ， 线性无关。 是与之对应的特征向量。如果 ， ， ， 各不相等，则 （） 设 ， ， ， 是方阵 的 个特征值， ， ， ， 依 次 性质： n n n n p p p A n p p p     1 2 1 2 1 2 1 2    6    多项式）。 则称矩阵 与 相似，且 与 具有相同的特征值（或特 征 （） 设 ， 都 是 阶方阵，若有可逆矩阵， 使 ， A B A B A B n P P AP = B −1 7 相似，则 即是矩阵 的 个特征值。 推论：若 阶方阵 与对角阵 A n n A n n       , , , 1 2 2 1                =

性质： ⑧设2，是方阵4的n个特征值，则 (i)2+入2+.+元n=a,+a22+.+an (i)22.元.=A

( ) . ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 A a a a A n n n n n n = + + + = + + +              ii i 8 ； （） 设 ， ， ， 是方阵 的 个特征值，则 性质：

幂法 设阶矩阵4有一个完全的特征向量阻x,x,.,x。 (即特征向量，x,.,x是线性无关的，它们分别 对应于特征值2，入，.，2，且特征值的排列次提 1③≥.≥2 任取一个非零向量。=∑ax(a≠0，并构造一个迭代公式 则向量序列y,V,y.收敛于与按模最大的特缸 值对应的特征向量

幂法 n n n n x x x n A x x x            1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ( , , , ) , , , 对应于特征值 ，且特征值的排列次序是 即特征向量 是线性无关的，它们分别 设 阶矩阵 有一个完全的特征向量组   值对应的特征向量。 则向量序列 ， ， ， ， ， 收敛于与按模最大的特征 任取一个非零向量 ，并构造一个迭代公式  k  k k n i i i v v v v v Av v a x a 0 1 2 1 1 1 0 ( 0) = =  + = 

性质②如果是方阵4的特征值，x是对应的特征向量，贝 ax(a≠0)仍然是与2对应的特征向量。 证明： 。=∑a,x,且v.=Av-1=Av-&=Ay-,==Av。 =4ax-2ux-立ax=2a+ 因为经<6=23所以→时，是-会→0 即就是 a,2为常数因子， 如=ma+宫经]=ukeA 于2的特征向量 因此，当充分大时，v,可近似表示矩阵的与对应的特征向量

3 0 3 2 2 1 1 v0 a x v Av A v A v A v k k k k k n i = i i = − = − = − = = =  ， 且  证明：        =  =  =  = + = = = = n i k i k i i k n i i k i i n i i k i n i i i k k v A a x a A x a x a x a x 2 1 1 1 1 1 1 1     1( 2,3, , ) 0 1 1 1   →        = →  = k i k k i i i n k       因 为  ，所以当 时 ， ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 lim v lim a x a x a x k n i i k i i k k k k     =                 = += → → 即就是 ( ) 于 的特征向量。 仍是对应 为常数因子， 1 1 1 1 1 1    a x a k k 因此，当k充分大时，vk 可近似表示矩阵A的 与1 对应的特征向量。 仍然是与 对应的特征向量。 性质（）如果 是方阵 的特征值， 是对应的特征向量，则 i i i i ax a A x   (  0) 2

已知特征向量后，特值好求吗？ 问题转化：设以x=Ax,且x已知，问2=？ 9=,则，=A和于是A= ) 特别地，在幂法中，断求得的与孔对应的特征向量为， 因此y=Ay=V1=Vg 月= (心】

已知特征向量后，特征值好求吗？ 问题转化：设1 x1 = Ax1 ，且x1 已知，问1 =？ ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 1 1 i i x y 令y = Ax， 则y =  x，于是 = ( ) ( )k i k i k k k k v v y Av v v v 1 1 1 1 1 1 + +  = = = =    因 此 ， 特别地，在幂法中，由于求得的与 对应的特征向量为

使用幂法时的相关问题 特征向量，x,.,x线性无关 特征值2>2，≥.≥2 (1)收敛速度越小，收敛速度越快 x迅速收敛 o值，奥<6-2 <l。 (2)入的计算取(y)/(~),(分量之比的均值作为的计算值。 因为k不可能趋于无穷大，眺以y,只是对应于孔的 特征向量的近似值y)(y)可能互不相等

使用幂法时的相关问题 (1)收敛速度 于 值，则 ( )， 即 。 因 为 ，要使 迅速收敛 1 2,3, , 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1  = =                          = +  = =          i n r v a x a x a x i n i i k i i n i i k i i k k 0  n n x x x       1 2 1 2 , , , 特征值 特征向量 线性无关 (2)1 的计算 特征向量的近似值，( ) ( ) 可能互不相等。 因 为 不可能趋于无穷大，所以 只是对应于 的 k i k i k v v k v / 1 1 +  取(vk+1 )i /(vk )i (分量之比)的均值作为1的计算值。 r越小，收敛速度越快