西安电子科技大学：《计算方法》课程教学资源（PPT课件）插值与数据拟合（2/3）

数据插值 ·差商的概念 ·牛顿插值多项式构造 。 牛顿插值多项式误差分析 。 差分的概念 ·等距节点插值公式

数据插值 • 差商的概念 • 牛顿插值多项式构造 • 牛顿插值多项式误差分析 • 差分的概念 • 等距节点插值公式

49=立- (x-x) P.(x)=4,xy 0 当你写程序时，你会发觉Lagrange 插值多项式是很容易计算的

噢是吗? 如果现在的 插值不够精确呢 那么你也许想取更多的节点 ? . 对. 那么所有的 Lagrange 基函数, l i (x), 都要重新计算. 很好 ! 我们现在介绍差商的概念， 并讨论解决这个问题方法. 当你写程序时, 你会发觉Lagrange 插值多项式是很容易计算的.  =  − − = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) n n i i i P x l x y = = 

§4.3差商与差分及其性质 定义4.3.1差商（亦称均差） f(x:)-f(x) 称为f关于x,和x的 jx,≠xj) 两者相同 1阶差商 ≠ 2阶差商 Xi-XK 两者相同 (k+1)阶差商： f1,.,x+l=ff,l Xo一Xk+1

定义4.3.1 差商(亦称均差) ( , ) ( ) ( ) [ , ] i j i j i j i j i j x x x x f x f x f x x   − − = 称为f关于xi 和 xj 的 1阶差商 ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i k x x f x x f x x f x x x i k i j j k i j k  − − = 2阶差商 §4.3 差商与差分及其性质 0 1 0 1 1 1 0 1 [ , , . , ] [ , . , , ] [ , . , ] + + + − − = k k k k k x x f x x x f x x x f x x (k+1)阶差商： 两者相同 两者相同

差商的对称性 差商[X,X1,X2,.,X]可以随意改变结点次序，而差商值不变 -阶差商：fx,x]=x)-f)-f)-f-x,x1 X。-x X-X。 二阶差商： -fxx] X。一X2 fx.-xx:-fx X2-X。 X2-X

差商的对称性 差商f[x0 ,x1 ,x2 ,.,xn ]可以随意改变结点次序,而差商值不变. 一阶差商： [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 f x x x x f x f x x x f x f x f x x = − − = − − = 二阶差商： [ , , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , , ] 2 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 f x x x x x f x x f x x x x f x x f x x x x f x x f x x f x x x = − − = − − = − − =

f(x)-f(x,)f(x)-f(x,) f[xo,X.X,J=- x-X2 X。-X1 X2-Xo xf(x)-xf(x)+xf(x)-xf(x,)+xf(x,)-x:f(x) (x-x2)(x。-x)(x2-x) f(x)-f(x,)f(x)-f(x2) f[x,x,x2]= X-X。 X。一X, x-x, %f(x)-xf(x)+xf(x,)-xf(x,)+xf(x)-xf(x,) (x,-x2)(x。-x(x2-xo) 其他情况大家可以仿照以上过程自行证明

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , ] 1 2 0 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 2 2 1 2 0 2 0 0 1 0 1 1 2 1 2 0 1 2 x x x x x x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x f x f x x x f x f x f x x x − − − − + − + − = − − − − − − = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , , ] 1 2 0 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 2 2 1 2 0 1 2 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 2 x x x x x x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x f x f x x x f x f x f x x x − − − − + − + − = − − − − − − = 其他情况大家可以仿照以上过程自行证明

差商表 一阶 二阶差商 三阶差商 四阶差商 七f(x) 差商 xo f(xo) XoX X f(x) f[x0,x,X2] f[x1,x2] f[x0,x1,X2,X3] x2 fx) f[x1,x2,x3] f[x0,x1,X2,X3,x4] fx2,x3] X3 f(x;) f[x1,x2,3,x4] f[x2,X3,x4] x4 f(xa) x:.x.]

差商表 一阶 差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 k x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x ( ) k f x 0 f x( ) 2 f x( )1 f x( )3 f x( )4 f x( ) 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 3 4 f x x [ , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 234 f x x x [ , , ] 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , , ] 0 1 2 3 4 f x x x x x [ , , , , ]

§4.4牛顿插值公式 Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数x)都需重新算过。 接下来我们要推导如下的牛顿插值公式： N(x)=a+a(x-x)+a(x-x)(x-x)+.+a,(x-x).(x-x-) 其中；=f[x0,x:]

§4.4 牛顿插值公式 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 l i (x) 都需重新算过。 接下来我们要推导如下的牛顿插值公式： ( ) ( ) ( )( ) . ( ).( ) n = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 − 1 + + n − 0 − n−1 N x a a x x a x x x x a x x x x 其中ai = f [ x0 , ., xi ]

将差商公式改写： f(x)=f(xo)+(x-xo)f[x,xol f[x,xol=fxo,x]+(x-x)fIx,xo2xl . fK,xo,.,xn-l=f,.,xn+(x-n)fIx,xo,.,xnJ.n-① 将后面的式子依次代入前面的式子，则有： f(x)=f(xo)+fIxo,xl(x-xo)+fxo,x,x2I(x-xo)(x-x1)+. 边fo,xnl(x-o(x-xm-） +,o.,x).()(x-x) N,(x) R,(x)

( ) ( ) ( ) [ , ] 0 0 0 f x = f x + x − x f x x [ , ] [ , ] ( ) [ , , ] 0 0 1 1 0 1 f x x = f x x + x − x f x x x [ , , . , ] [ , . , ] ( ) [ , , . , ] 0 n 1 0 n n 0 n f x x x = f x x + x − x f x x x − 1 2 . . . . n−1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) . f x = f x0 + f x0 x1 x − x0 + f x0 x1 x2 x − x0 x − x1 + [ , . , ]( ).( ) + x0 xn x − x0 x − xn−1 f [ , , . , ]( ).( )( ) x x0 xn x x0 x xn 1 x xn + f − − − − Nn (x) Rn (x) 将差商公式改写： 将后面的式子依次代入前面的式子，则有：

注：F由唯一性可知N,d)三Lx),只是算法不同，故其 余项也相同，即 nktim(e=5)muy (n+1)! 区间[a,b]内的任意 n+2个点 a.-x- n阶差商与n导数的关系： (),( n! 区间[a,b]内的任意 n+1个点

注： 由唯一性可知 Nn (x)  Ln (x)， 只是算法不同，故其 余项也相同，即 ( ) ( 1)! ( ) [ , , . , ] ( ) 1 ( 1) 0 1 x n f f x x x x k x n n k + + + + =    , ( , ) ! ( ) [ , . , ] min max ( ) 0 x x n f f x x n n =    n阶差商与n阶导数的关系： = + = − n i k i x x x 0 1  ( ) ( ) 区间[a,b]内的任意 n+2个点 区间[a,b]内的任意 n+1个点

例1：已知 X 1 2 3 4 0 -5 -6 3 求满足以上插值条件的牛顿型插 重点内容： 解： 差商表中各数值 是如何计算得到 f(x) 阶差商 二阶 的？ 1 0 -5 2 -5 -1 3 1 -6 4 3 9 5

例1:已知 求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解: 1 2 3 4 0 -5 -6 3 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1 x y ( )i f x i x 重点内容： 差商表中各数值 是如何计算得到 的？