《高等数学》课程教学资源：第十一章（11.2）常数项级数的审敛法

§11.2常数项级数的审敛法 、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 自

一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 §11.2 常数项级数的审敛法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、正项级数及其审敛法 今正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 令定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单 调有界数列是有极限. 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. ❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列{sn }是单调增加的, 而单 调有界数列是有极限. 下页 ❖定理1(正项级数收敛的充要条件)

令定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数,且ln≤vn(m=1,2,……) n=1 若∑vn收敛,则∑ln收敛;若∑un发散,则∑v发散 n- n 推论 >> 设∑n和∑vn都是正项级数,且n≤kvn>0,n≥N n=1 若∑vn收敛,则∑ln收敛;若∑un发散,则∑v2发散 1=」 n=」 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(比较审敛法) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, 且 unvn (n=1, 2,    ). >>> •推论 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, 且 unk vn(k0, nN). 若   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 若   n=1 n u 发散, 则   n=1 n v 发散. 若   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 若   n=1 n u 发散, 则   n=1 n v 发散. 下页

令定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数,且n2≤kn(A>O,Vm≥N).若级数 ∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散 例1讨论p级数∑一(P>0)的收敛性 1 解当p1时,≥1,而级数∑发散, n- 所以级数∑也发散 n=I np 当P1时,m2p21ny21 n可Vn=2,3,…),> 2-D)m收敛,所以级数∑也收敛 而级数∑ n= 12 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 而级数 ] >>> 1 ( 1) 1 [ 1 1 2 − −  = − −  p p n n n 收敛, 所以级数 p n n 1 1   = 也收敛. 解 下页 ❖定理2(比较审敛法) 例 1 讨论 p−级数 ( 0) 1 1    = p n p n 的收敛性. 解 当 p1 时, n n p 1 1  , 而级数   =1 1 n n 发散, 当 p1 时, ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 1 −1 −1 − − −  p p p n p n n (n=2, 3,   ), 而级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2 − −  = − −  p p n n n 收敛, 所以级数 p n n 1 1   = 也收敛. 所以级数 p n n 1 1   = 也发散. >>> 解 当 p1 时, n n p 1 1  , 而级数   =1 1 n n 发散, 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn (k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散

令定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数,且n2≤kn(A>O,Vm≥N).若级数 ∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散 令p-级数的收敛性 1n当m>1时收敛,当p≤1时发散 p-级数∑ 例2证明级数∑一是发散的 √n+1) 证因为 n+1)√(+1)2n+ 而级数∑发散,故级数∑一也发散 n+ n(n+1) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 因为 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 + = +  n n+ n n , 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn (k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. ❖p−级数的收敛性 证 下页 ❖定理2(比较审敛法) p−级数 p n n 1 1   = 当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. 例 2 证明级数   =1 ( +1) 1 n n n 是发散的. 而级数 1 1 1 +   n= n 发散, 故级数   =1 ( +1) 1 n n n 而级数 也发散. 1 1 1 +   n= n 发散, 故级数   =1 ( +1) 1 n n n 也发散

令定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑n和∑vn都是正项级数, n=1 (1)如果m=1(0≤kVn (2)如果lmn=1(000 例3判别级数∑si的收敛性 n=1 SI 解因为lm=,n=1,而级数∑发散, n->00 所以级数∑sn-也发散 自贝 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理3(比较审敛法的极限形式) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, (1)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 (2)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 发散, 则   n=1 n u 发散. 下页 例 3 判别级数   =1 1 sin n n 的收敛性. 解 因为 1 1 1 sin lim = → n n n , 而级数   =1 1 n n 解 发散, 所以级数   =1 1 sin n n 也发散. 解 因为 1 1 1 sin lim = → n n n , 而级数   =1 1 n n 发散

令定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑n和∑vn都是正项级数, n=1 (1)如果m=1(0≤kVn (2)如果lmn=1(000 例4判别级数∑n(1+2)的收敛性 ln(1+ 解因为im=1n=1,级数∑收敛, n→>0 所以级数∑m1+2)也收敛 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 >>> 下页 例 4 判别级数   = + 1 2 ) 1 ln(1 n n 的收敛性. 解 解 因为 1 1 ) 1 ln(1 lim 2 2 = + → n n n , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 1 收敛, 1 ) 1 ln(1 lim 2 2 = + → n n n , 而级数 2 1 1 n n   = 收敛, 所以级数   = + 1 2 ) 1 ln(1 n n 也收敛. ❖定理3(比较审敛法的极限形式) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, (1)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 (2)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 发散, 则   n=1 n u 发散

令定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法) 设∑un为正项级数,如果lmm=p,则当p0L 收敛;当灬1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 例5证明级数 1+2+-+ ∴ 11·21·2.3 1·23…(n-1) 是收敛的 解因为 lim -n+l=lm l·2.3…(n-1) lm-=0∞ nm)0123…n n->oon 所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 0 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n , 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 解 所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例5 证明级数 1 2 3 ( 1) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 +     − +  +   +  + + n 是收敛的. 解 因为 0 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n 解 因为 0 1, 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n

令定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法) 设∑un为正项级数,如果lmm=p,则当p0L 收敛;当灬1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 例6判别级数1+12+123+…+m+…的收敛性 10 10n 解因为lim (n+1)!10 n+ H->∞L n10 lim n+1 n!n→>∞10 所以,根据比值审敛法可知所给级数发散 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 下页 例 6 判别级数 10 ! 10 1 2 3 10 1 2 10 1 2 3 +  + +    +  + n n 的收敛性. 解 解 因为 = +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 解 因为 = , +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 解 因为 = , +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n , 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)

令定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法) 设∑vn为正项级数,如果m1=p,则当p0L 收敛;当灬1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 例7判别级数∑ 的收敛性 n→∞ (2n-1),2r 解因为②n)2nn oo u n→)00 (2n+1)(2n+2) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 7 判别级数   → −  n (2n 1) 2n 1 的收敛性. 提示: 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n , 比值审敛法失效. 所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n 1 , 比值审敛法失效. (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n 1, 比值审敛法失效. (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n , 比值审敛法失效. 下页 解 解 因为 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 收敛, 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 收敛, 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 收敛, 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)