《高等数学》课程教学资源：第十章（10.2）对坐标的曲线积分

§10.2对坐标的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 自

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 §10.2 对坐标的曲线积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、两类曲线积分之间的联系

、对坐标的曲线积分的概念与性质 心变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x,y)=P(x,y)计Q(x,y的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B,求变力F(x,y)所作的功> 求功的过程 把L分成n个小弧段:L1,L2,…,Ln 变力在L上所作的功的精确值为 F(Si,ni Ln B im∑[P(,m)Ax+g5,)Ay, L △1 ->0 L 其中λ是各小弧段长度的最大值 Xi 小: F在L上所作的功形F(,m)△sO 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 ❖变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B 求变力F(x y)所作的功 下页 P(i  i )xi+Q(i  i )yi [ ]  n i=1  提示 •把L分成n个小弧段 L1  L2     Ln  求功的过程 •变力在Li上所作的功的近似值为 0 lim → •变力在L上所作的功的近似值为 上所作的功的精确值为 其中是各小弧段长度的最大值 F在Li上所作的功WiF(i  i )si  >>>光滑曲线

今对坐标的曲线积分 设函数P(x,y)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成n个有向小弧段L1,L2,…,Ln,其中L是从(x1,y21)到 (x,y)的小弧段,记Ax=x=x11,4=yy21 在小弧段L,上任取一点(,m) 令为各小弧段长度的最大值 如果极限m∑P(E)Ax总存在,则称此极限为函数P(xy) 在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,记作P(xy 如果极限m∑QE)Ay总存在,则称此极限为函数Q(x,y) ->0 在有向曲线弧上对坐标y的曲线积分记作xy0b 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分 下页 •设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 •把L分成n个有向小弧段L1  L2     Ln  其中Li是从(xi−1  yi−1 )到 (xi  yi )的小弧段 记xi=xi−xi−1  yi=yi−yi−1  •在小弧段Li上任取一点(i  ) •令为各小弧段长度的最大值 •如果极限 总存在 则称此极限为函数P(x y) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分记作  i i i n i P x → = lim  ( , ) 1 0    L P(x, y)dx L Q(x, y)dy i i i n i Q y → = lim  ( , ) 1 0    •如果极限 总存在 则称此极限为函数Q(x y) 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分记作 

今对坐标的曲线积分 P(, y)dx=lim P(Si,ni)Ax ->0 Q(x,y)y=lm∑Q(21,7h ->0 说明: 在积分中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     i i i n i L Q x y dy = Q y → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     •在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 说明 •对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

今对坐标的曲线积分 ∫P(xy)x=mn∑P(5,n)A 「xy)=mn5,n)Ay 说明 设为空间内一条光滑有向曲线弧,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、 R(x,y,z)在上有定义我们定义 P(x,y, z)dx= lim 2PSi, ni, si)A ->0 「(xy=2)y=m∑5,=Ay, 「Kxy)=mn∑R55)△ 有页 口 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i i n i L Q x y z dy = Q y → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      ❖对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     i i i n i L Q x y dy = Q y → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     说明 •设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、 R(x y z)在上有定义我们定义 i i i i n i L P x y z dx = P x → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      i i i i n i L R x y z dz = R z → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      下页

今对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 「Pxy)+xyb, 上式可记为 Pxy)k+xy),或F(xy)d, 其中F(x,y)=P(x,y)i+Qx,y,dr=dxi+dy 类似地,有 f Pax+ Ody+ Rde= Pax+Ody+Rd== a-dr, I+=P(x,y, zi+O(x, y, =+R(x,y, z)k, dr-dxitdyj+d=k 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是   + L L P(x, y)dx Q(x, y)dy  上式可记为 P x y dx Q x y dy L ( , ) + ( , )   或  L F(x, y) dr  其中F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j dr=dxi+dyj 类似地 有 其中A=P(x y z)i+Q(x y z)j+R(x y z)k dr=dxi+dyj+dzk Pdx Qdy Rdz       + + = Pdx+Qdy+Rdz   A dr L =    下页

今对坐标的曲线积分的性质 性质1设、B为常数,则 L,LaF(x, )+BFi(x, D)]-dr=aJ, E(x, y) dr+BJ, E2(x,)dr 性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2 则 J, F(x, y) dr=JF(xyb+F(xy)b 性质3设L是有向光滑曲线弧,L是L的反向曲线弧,则 F(r,y)dr=-L F(x,y)dr 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲线积分的性质 •性质1设、为常数 则    +  =  +  L L L [ F(x, y) F (x, y)] dr F(x, y) dr F (x, y) dr  1  2  1  2  •性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2  •性质3设L是有向光滑曲线弧 L −是L的反向曲线弧 则    =−  − L L F(x, y) dr F(x, y) dr      =  +  1 2 ( , ) ( , ) ( , ) L L L 则 F x y dr F x y dr F x y dr  首页

二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=0(),y=v(1),且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)计+Q(x,y)的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(x,y)dx+Q(,y)dy 另一方面,在L上任取一小段有向弧,其起点和终点对应 的参数分别为t和t+d,得功元素> dw=Flat), yo)] dr 示:F[(1),(OD)]=(P[(),v切),Q[a(1),切)]), dr=(dx, dy=((odt, y(t)) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 二、对坐标的曲线积分的计算 下页 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 另一方面 在L上任取一小段有向弧 其起点和终点对应 的参数分别为t和t+dt得功元素 =F[(t) (t)]dr dr=(dx dy)=((t)dt(t)dt) dW W P x y dx Q x y dy L = ( , ) + ( , )  W P x y dx Q x y dy  L = ( , ) + ( , )   设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(t) y=(t)且L的起 点和终点所对应的参数分别为和 >>>图形 F[(t) (t)]=(P[(t)(t)] Q[(t) (t)])

二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=0(),y=v(1),且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)计+Q(x,y)的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(x,y)dx+Q(,y)dy 另一方面,在L上任取一小段有向弧,其起点和终点对应 的参数分别为t和t+d,得功元素 d=Flat),uo]dr =Plao), yolo (tdi+eloo), holy(oat, 于是W={0(O)()+o)yo)y(O)at 返回 结束

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二、对坐标的曲线积分的计算 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=0(),y=v(1),且L的起 点和终点所对应的参数分别为a和B 质点在变力F(x,y)=P(x,y)计+Q(x,y)的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W=L P(x,y)dx+Q(,y)dy P()2v()lp()+a(),y(0)y()t 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对坐标的曲线积分的计算 下页 质点在变力F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j的作用下沿光滑有向 曲线弧L所作的功为 W P x y dx Q x y dy L = ( , ) + ( , )    =  +    W {P[(t),(t)] (t) Q[(t),(t)] (t)}dt  设光滑有向曲线弧L的参数方程为x=(t) y=(t)且L的起 点和终点所对应的参数分别为和 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算