《高等数学》课程教学资源：第十章（10.1）对弧长的曲线积分

§10.1对弧长的曲线积分 、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 自

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 §10.1 对弧长的曲线积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、对弧长的曲线积分的概念与性质 ◆曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为(x,y) :把曲线弧L分成n个小段:△s1,△s2,…,As(△As也表示弧长); 任取(5,m)∈As,得第段质量的近似值,n)△s B 1,71 A △s △S2 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •把曲线弧L分成n个小段 s1  s2     sn (si也表示弧长) 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 ❖曲线形构件的质量 下页 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •任取(i  i )si  得第i小段质量的近似值(i  i )si 

、对弧长的曲线积分的概念与性质 ◆曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为(x,y) :把曲线弧L分成n个小段:△s1,△s2,…,As(△As也表示弧长); 任取(ξ,m)∈As,得第i段质量的近似值(,m)As 整个曲线形构件的质量近似为M≈∑C,n)As; i=1 令A=max{As1,△s2,…,△sn}->0,则整个曲线形构件的质量为 M=lm∑(51h)s 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •令=max{s1  s2     sn }→0则整个曲线形构件的质量为 i i i n i M  s =  ( , ) 1 •整个曲线形构件的质量近似为     下页 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) i i i n i M = s → = lim  ( , ) 1 0      ❖曲线形构件的质量 •把曲线弧L分成n个小段 s1  s2     sn (si也表示弧长) •任取(i  i )si  得第i小段质量的近似值(i  i )si 

今对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数(x,y)在L上有界 将L任意分成n个小弧段: >> △s1△s2…,Asn(△s也表示第个小弧段的长度); 在每个小弧段△上任取一点(5,m,作和 ∑f(,m)△s 如果当=max{△s1,△s2,…,△sn}→>0时,这和的极限总存在,则 称此极限为函数fx,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,记作 f(x,y)ds,即 f, /(x, y)ds=lim 2/(i, " )As, 其中(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段 首””返回个结東”铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 将L任意分成n个小弧段 s1  s2     sn (si也表示第i个小弧段的长度) 在每个小弧段si上任取一点(i  i ) 作和 ❖对弧长的曲线积分 下页 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 i i i n i f s =  ( , ) 1    i i i n i L f x y ds = f s → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     如果当=max{s1  s2     sn }→0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 >>>光滑曲线

今对弧长的曲线积分 ,/xy)d=m2∑/(5,n)As 说明: °对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 当函数fx,y)在光滑曲线弧L上连续时,函数(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定fx,y)在L上 是连续的 曲线形构件的质量就是曲线积分(xyd的值 类似地可以定义函数x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的曲线 积分: f(x,y, z)ds=lim 2f(si mi Si)A → 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i L f x y ds = f s → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     ❖对弧长的曲线积分 说明 •当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 •曲线形构件的质量就是曲线积分 x y ds 的值 L ( , )   i i i i n i f x y z ds = f s → =   ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      •类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线 积分

今对弧长的曲线积分 ,/xy)d=m2∑/(5,n)As 说明: 如果(或冂)是分段光滑的,则规定函数在I(或D)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如,设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定 L+l f(x,y)ds=L. f(x, yds+,f(x,y)ds 函数(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作5f(x,ys L 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i L f x y ds = f s → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     ❖对弧长的曲线积分 •如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2  则规定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2    = + +  •函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 x y ds  f L ( , )  说明

今对弧长的曲线积分的性质 性质1设c1、c2为常数,则 Icf(x,3)c28(x, y)]ds=c f(x, y)ds+c,(x,y)ds 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 f(, y)ds= f(x, y)ds+ f(x, y)ds 性质3设在L上f(x,y)≤g(x,y),则 f, /(x, y)ds s,g(x,y)ds 特别地,有 J,f(x, y)dsk,If(x, p)ds 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对弧长的曲线积分的性质 •性质1设c1、c2为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )  1 2 1 2 + = +  •性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2  则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2    = +  •性质3设在L上f(x y)g(x y) 则    L L f (x, y)ds g(x, y)ds  特别地 有    L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds

二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密 度为(x,y),则曲线形构件L的质量为 1, f(x, y)ds 另一方面,如果曲线L是光滑的,其参数方程为 x=((),y=y(1)(∝≤B) 则曲线形构件L的质量为 flo(O,W(N92(0)+y/2(0)dt 提示:曲线形构件L的质量元素为 f(xy)ks=mo(O,y()o2()+y/2(t 返回 页结束铃

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二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密 度为(x,y),则曲线形构件L的质量为 1, f(x, y)ds 另一方面,如果曲线L是光滑的,其参数方程为 x=((),y=y(1)(∝≤B) 则曲线形构件L的质量为 f(o(.,v()J2()+v/2()dl 于是J(x)=0000(+y0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 L f (x, y)ds   +    f[(t),(t)]  (t)  (t)dt 2 2  于是   =  +    f x y ds f  t  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2  下页 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x=(t) y= (t) (t) 则曲线形构件L的质量为

二、对弧长的曲线积分的计算 今定理 设(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 x=((),y=v(0)(a≤1≤B) 其中(t)、v()在[a,月上具有一阶连续导数,且2()+y2(1)≠0, 则曲线积分f(xy)存在,并且 f(xy)=0Ov()V2()+v2(o(∝x 应注意的问题:定积分的下限a定要小于上限B 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 则曲线积分 f x y ds L ( , )  存在 并且 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2  2      =  +    () 二、对弧长的曲线积分的计算 ❖定理 下页 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x=(t) y=(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数且 2 (t)+ 2 (t)0 应注意的问题定积分的下限一定要小于上限