《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.2）可分离变量的微分方程

§12.2可分离变量的微分方程 阶微分方程有时也写成如下对称形式 (r, y)dx+O(, y)dy 在这种方程中,变量x与y是对称的 如果一个一阶微分方程能写成 gl)dy=f(x)dx 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 自

§12.2 可分离变量的微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx+Q(x y)dy=0 在这种方程中 变量x与y是对称的 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃

今可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 gy)dh=f(x)x(或写成y=0(x)v() 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论: 微分方程 分离变量是否可分离变量 -n2xy dv=2xdx 是 3x2+5x-y′=0 dy=(3x +5x)di (xl+y2)dx-xydy=0 y=1+x+y2+xy2y=(1+x)(1+y) y=10x+y 10-vdy-l0rdx 是是是是 X y x 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 微分方程 分离变量 是否可分离变量 y=2xy 3x 2+5x−y=0 (x 2+y 2 )dx−xydy=0 y=1+x+y 2+xy2 y=10x+y 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程 下页 讨论 x y y x y  = + 是 不是 不是 是 是 是 y −1dy=2xdx dy=(3x 2+5x)dx y=(1+x)(1+y 2 ) 10−ydy=10xdx ———— ————

今可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 gy)dh=f(x)x(或写成y=0(x)v() 的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 今可分离变量的微分方程的解法 分离变量:将方程写成g(yky=f(x)x的形式; 两端积分:8(=/(k,设积分后得co=(x)C 求显式解:求方程由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数 y=((x)或x=(y) 方程G)=F(x)+C,y=φ(x)或κ=(y)都是方程的通解,其中 G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可分离变量的微分方程的解法 •两端积分 方程G(y)=F(x)+C y=F(x)或x=Y(y)都是方程的通解 其中 G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解 •求显式解 求方程由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数 y=F(x)或x=Y(y) 下页 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y=(x)(y)) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程 •分离变量 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式   g(y)dy= f (x)dx  设积分后得 G(y)=F(x)+C   g(y)dy= f (x)dx  设积分后得 G(y)=F(x)+C

例1求微分方程=2xy的通解 解这是一个可分离变量的微分方程 离变量得 dy=2xdx 两边积分得 dy= 2xdx 注:加常数的另一方法: 即 Inly=x+CI InlyEx2+InC, 从而 y=te e=Cex 其中C=±e为任意常数. 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注 离变量得 解 这是一个可分离变量的微分方程 两边积分得 下页 例 1 求微分方程 x y dx dy =2 的通解 dy xdx y 2 1 =    dy= xdx y 2 1  即 ln|y|=x 2+C1  ln|y|=x 2+lnC 从而 2 x 从而 y =Ce  2 2 1 C x x y =e e =Ce  其中C =e C1 为任意常数 加常数的另一方法

例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t=0时铀的含量为M,求在衰变过程中铀含量Mo)随时间t 变化的规律. 解根据题意,得微分方程即lnM=-λ+nC, aM(是正常数 也即M=Ce-nt 由初始条件,得M=Ce=C, 初始条件为M0=M0 所以铀含量M随时间变化 将方程分离变量得的规律M=Me- ndt M 两边积分,得 dM n)at M 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 根据题意 得微分方程 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t=0时铀的含量为M0  求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t 变化的规律 初始条件为M| t=0=M0  M dt dM =− ( 是正常数) dt M dM =−  将方程分离变量 得 两边积分 得   = − dt M dM ( )  由初始条件 得M0=Ce0=C 所以铀含量M(t)随时间t变化 的规律M=M0 e − t  即 lnM=−t+lnC 也即 M=Ce− t  下页

例3设降落伞从跳伞塔 下落后,所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零.求降落伞下落 速度与时间的函数关系 解设降落伞下落速度为 k v().根据题意得初值问题 P=mg mg-kv =0 提示 降落伞所受外力为F=mg-k(k为比例系数 牛顿第二运动定律F=ma. 首负”页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 降落伞所受外力为F=mg−kv(k为比例系数) 牛顿第二运动定律F=ma 设降落伞下落速度为 v(t)     = = − = | 0 t 0 v mg k v dt dv m  解 下页 例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系 根据题意得初值问题

例3设降落伞从跳伞塔两边积分得 下落后,所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞 mg-kv 塔时速度为零.求降落伞下落即 速度与时间的函数关系 在mg-少 k kC 解设降落伞下落速度为|或v=m8+Cem(C v().根据题意得初值问题 k k 将初始条件=0代入上式得 mg-kv C=_ mg t=0 于是降落伞下落速度与时间 将方程分离变量得 的函数关系为 dy dt mg-hv m (1-em) 返回

首页 上页 返回 下页 结束 铃 将方程分离变量得 m dt mg kv dv = −  两边积分得 将初始条件v| t=0=0代入上式得 k mg C=−  于是降落伞下落速度与时间 的函数关系为 结束     = = − = | 0 t 0 v mg k v dt dv m  例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系   = − m dt mg kv dv  即 1 ln( ) 1 C m t mg k v k − − = +  或 t m k Ce k mg v − = + ( k e C −kC1 =− ) (1 ) t m k e k mg v − = −  设降落伞下落速度为 v(t) 解 根据题意得初值问题