《高等数学》课程教学资源：第十一章（11.7）傅里叶级数

§11.7傅里叶级数 、三角级数三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数和余弦级数 自

一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 首页 上页 返回 下页 结束 铃 §11.7 傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数

、三角级数三角函数系的正交性 今三角级数 形如 a+∑( a. cosnx+ b sinn) n=1 的级数称为三角级数,其中aan,b、m=1,2,…)都是常数 今三角函数系 cOsx,Sinx,cos2x,Sin2x,……, cos nx, sin nx,… 今三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在[z,z上的 积分等于零,而任何两个相同的函数的乘积在[-兀z上的积分 不等于零.> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、三角级数 三角函数系的正交性 ❖三角级数 形如 ( cos sin ) 2 1 1 a0 a nx b nx n n n + +  = 的级数称为三角级数其中a0  an  bn (n=1 2   )都是常数. 1 cos x sin x cos 2x sin 2x     cos nx sin nx   . ❖三角函数系 下页 ❖三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [− ]上的 积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在[− ]上的积分 不等于零. >>>

二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 设(x)是周期为2z的周期函数,且能展开成三角级数 f(x)=o+2(ak coskx+bk sin kx) 且假定三角级数可逐项积分,则 f(x)dx 丌x 丌 f(x) cosnxdx(n=1,2,…) 提示:f( sinni= sinr+( ak coskxsinnx+ b, sin kxsinr) k=1 0+ 0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: a0  −   = + 0 + 0   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a 提示 f x  : cos [ cos cos sin cos ] 2 ( )cos 1 0 nx a k x nx b k x nx a f x nx k k k = + +  = an  −   = 0 + + 0 提示:   = = + + 1 0 sin ( cos sin sin sin ) 2 ( )sin k k k nx a k x nx b k x nx a f x nx 二、函数展开成傅里叶级数 ❖傅里叶系数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a f x  且假定三角级数可逐项积分则  − =    a f (x)dx 1 0   − =    a f x nxdx n ( )cos 1 (n =1 2   ) bn  −   = 0 + 0 + 下页

二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 设(x)是周期为2z的周期函数,且能展开成三角级数 f(x)=o+2(ak coskx+bk sin kx) 且假定三角级数可逐项积分,则 f(x)dx 丌x 丌 acosn x(n=1,2,……) f(x) sin ndx(n=1,2,…) 丌J-z 系数a02a12b1,…叫做函数fx)的傅里叶系数 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、函数展开成傅里叶级数 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a f x  且假定三角级数可逐项积分则  − =    a f (x)dx 1 0   − =    a f x nxdx n ( )cos 1 (n =1 2   )  − =    b f x nxdx n ( )sin 1 (n =1 2   ). 系数a0  a1  b1     叫做函数f(x)的傅里叶系数. 下页 ❖傅里叶系数

今傅里叶级数 三角级数 +∑( an cosnx+ b sinx) 称为傅里叶级数,其中a02a1,b1,是傅里叶系数 个定义在(-∞,+∞)上周期为2m的函数fx),如果它在 个周期上可积,则一定可以作出fx)的傅里叶级数 然而,函数fx)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛, 它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说,这两个问题的答案都 不是肯定的 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖傅里叶级数 三角级数   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n n n a nx b nx a 称为傅里叶级数 其中a0  a1  b1  · · ·是傅里叶系数. 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都 不是肯定的. 一个定义在(− +)上周期为2的函数f(x) 如果它在一 个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数. 下页

◆傅里叶级数 三角级数 +∑( an cosnx+ b sinx) 称为傅里叶级数,其中a02a1,b1,…是傅里叶系数 今定理(收敛定理狄利克雷充分条件) 设(x)是周期为2n的周期函数,如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则fx)的傅里叶级数收敛,并且 x是f(x)的连续点时,级数收敛于(x) 当x是/(x)的间断点时级数收敛于(x-0)+f(x+0 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理(收敛定理 狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛并且 当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时 级数收敛于 [ ( 0) ( 0)]. 2 1 f x− + f x+ 下页 ❖傅里叶级数 三角级数   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n n n a nx b nx a 称为傅里叶级数 其中a0  a1  b1  · · ·是傅里叶系数

例1设周期为2m的函数(x)在[x,m)上的表达式为 1-丌<x<0 0<x<丌 将八x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道fx)的 傅里叶级数收敛.当x=k时傅里叶级数收敛于 f(x-0)+f(x+0]=(-1+1)=0 当xk时级数收敛于f(x) 3x1-2 2x 32 x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为      − −   =   x x f x 1 0 1 0 ( )  将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. ( 1 1) 0 2 1 [ ( 0) ( 0)] 2 1 f x− + f x+ = − + = . 当x=k时傅里叶级数收敛于 当xk时级数收敛于f(x). 下页

例1设周期为2m的函数(x)在[x,m)上的表达式为 1-丌> an=0(m=0,1,2,…),bn=1nz n=1,3,5 0n=2.4.6 所以(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)==snx+Sin3x+…+ 2k Si(2k-1)x+…] (-∞<x<+∞;x≠0,±兀±2兀,……) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>> 所以f(x)的傅里叶级数展开式为 sin(2 1) ] 2 1 1 sin3 3 1 [sin 4 ( ) − +  − = + +  + k x k f x x x  .     =  =  = =  = 0 2, 4, 6, 1, 3, 5, 4 0 ( 0,1, 2, ), n n an n bn n  (−<x<+; x 0, , 2,   ). 下页 例1 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为      − −   =   x x f x 1 0 1 0 ( )  将f(x)展开成傅里叶级数

例2设周期为2m的函数(x)在[x,m)上的表达式为 x-丌<x<0 f(x) 100≤x<z 将八x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道fx)的 傅里叶级数收敛当x=(2k+1)时傅里叶级数收敛于 f(x-0)+f(x+0)=(0-x)= 2 当x≠(2k+1)时级数收敛于f(x) 和函数图形 2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 和函数图形 f(x)的图形 例2 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数.      −   =   x x x f x 0 0 0 ( )  解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 当x=(2k+1)时傅里叶级数收敛于 当x(2k+1)时级数收敛于f(x). 2 (0 ) 2 1 [ ( 0) ( 0)] 2 1  f x− + f x+ = − =− . 下页

例2设周期为2m的函数(x)在[x,m)上的表达式为 x-丌anini n=135…h(-1) (n=1,2,…), 0n=2.4.6.… 所以当x≠(2k+1)时fx)的傅里叶级数展开式为 f(x)=-+(cosx+sinx)-osin 2x+(-coS3x+sin 3x) sin 4x+(2-cOS5x+sin 5x) 4 自贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 2 0  a =−      =  =  = 0 2, 4, 6, 1, 3, 5, 2 2 n n an n   n b n n 1 ( 1) − + = (n =1 2   ) sin3 ) 3 1 cos3 3 2 sin2 ( 2 1 cos sin ) 2 ( 4 ( ) 2 f x =− + x+ x − x+ x+ x    所以当x(2k+1)时f(x)的傅里叶级数展开式为 sin5 ) 5 1 cos5 5 2 sin 4 ( 4 1 2 − x+ x+ x −  . 下页 因为傅里叶系数为>>> 例2 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为 将f(x)展开成傅里叶级数.      −   =   x x x f x 0 0 0 ( ) 