《高等数学》课程教学资源：第十一章（11.8）周期为2的周期函数的傅里叶级数

§1.8周期为2)的周期函数的傅里叶级数 到现在为止,我们所讨论的周期函数都是以2z 为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函数,它的 周期不一定是2x.怎样把周期为2l的周期函数(x)展 开成三角级数呢? 自

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §11.8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的 周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展 开成三角级数呢？

分析 设函数f(x)以2z为周期,则函数F()=f(1)以2z为周期 这是因为 F(t+2)=f1-(t+2)f(-t+2/)=f(-t)=F(t) 奇延拓若f()=0 若f0≠0 f(x)0<x≤x f(x)0≤x≤ FO F(x) 0 f(x)-元<x<0 f(x)-x<x<0 偶延拓 x<0 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖分析 这是因为 ( 2 ) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t) l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p ) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p ( 2p) [ ( 2 )] ( 2 ) ( t) F(t). l t l f l t f l F t+ = f + = + = = p p p p p . 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( ) ( t) l F t f p 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( )= ( t) 以 2p为周期. l F t f p = 以 2p为周期. 下页

今分析 设函数f(x)以2z为周期,则函数F()=f(1)以2z为周期 当F()满足收敛定理的条件时,可展开成傅里叶级数: F(0=+>(ancosnt+bn sin nt) 其中 1 F(tcosnto 丌 、 F(Osin ntt 丌 令x=t,即t=,则有 f(x)=0+2(an cos+,sin ") 1= f(x)cos nTA dx b f(x)sin niU dt 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当F(t)满足收敛定理的条件时, 可展开成傅里叶级数: 其中  − = p p p a F t ntdt n ( )cos 1 ,  − = p p p b F t ntdt n ( )sin 1 . ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nt b nt a F t n n n = + +  = , 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( ) ( t) l F t f p 设函数 f(x)以 2p为周期, 则函数 ( )= ( t) 以 2p为周期. l F t f p = 以 2p为周期. 令 t l x p = , 即 l x t p = , 则有 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n p p = + +  = ,  − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 ,  − = l l n dt l n x f x l b p ( )sin 1 .  − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 ,  − = l l n dt l n x f x l b p ( )sin 1 . 下页 ❖分析

今定理 设周期为2的周期函数(x)满足收敛定理的条件,则它的 傅里叶级数展开式为 f(x)=当+2(n n=/ cosa +b, sin"m) 其中an=1(x)cx(=0,1,2…) f(x)sin dx(n=1,2,…) 注:当fx)为奇函数时,an=0(n=0,1,2,…),fx)的傅里叶级数 为正弦级数; 当fx)为偶函数时,b,0(n=1,2,……),fx)的傅里叶级数为 正弦级数 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃  − = l l n dx l n x f x l b p ( )sin 1 (n=1, 2,   ). 其中  − = l l n dx l n x f x l a p ( )cos 1 (n=0, 1, 2,   ), 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件, 则它的 傅里叶级数展开式为 ❖定理 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n p p = + +  = , 当f(x)为奇函数时, an =0(n=0, 1, 2,   ), f(x)的傅里叶级数 为正弦级数; 当f(x)为偶函数时, bn =0(n=1, 2,   ), f(x)的傅里叶级数为 正弦级数. 注: 下页

例1设(x)是以4为周期的函数,它在[-2,2)上的表达式为 0-2<x<0 f(x)= (常数k≠0) k0<x<2 将(x)展开成傅里叶级数 解函数f(x)在点x=0,±2,±4,±6,……是间断的,在这些点 (x)的傅里叶级数收敛于k 2 k 2 O 2 02 fx)的图形 和函数的图形 返回 页结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在[−2, 2)上的表达式为      −   = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x (常数 k0). 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6,   是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 . 2 k 下页 f(x)的图形 和函数的图形

例1设(x)是以4为周期的函数,它在[-2,2)上的表达式为 0-2 2k 1丌 0n=2.4.6 所以f(x) k 2k 37x +(snx+-sin2+sin2+…) (-∞<x<+∞;x=0,±2,±4,…) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 a0=k, an =0,     =  =  = 0 2, 4, 6, 1, 3, 5, 2 n n n k bn p , 因为f(x)的傅里叶系数为>>> (−<x<+; x0, 2, 4,   ). ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( )= + + + +  k k x x x f x p p p p 所以 下页 例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在[−2, 2)上的表达式为      −   = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x (常数 k0). 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6,   是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 . 2 k

例2将函数M(x)=20≤x 2展开成正弦级数 plex > pl/4 O 12 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 将函数        −   = x l p l x x px M x 2 l 2 ( ) 2 l 0 2 例2 ( ) 展开成正弦级数. 解 对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数, 其 傅里叶级数在[0, 1]上处处收敛于M(x). 下页 因为函数M(x)的正弦级数的系数为>>>

0<x< 例2将函数M(x)=2 2展开成正弦级数 plex <xsl 2 解对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数,其 傅里叶级数在[0,1上处处收敛于M(x) 因为函数Mx)的正弦级数的系数为 2pl. nT 0(n=0,1,2,3,…),bn={m2z sin n=1,3,5,… 所以Mx)的正弦级数展开式为 M(x) 2pl(sin 3n,1:57 sIn +-sin )(0≤x≤7) 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃     =  =  = 0 2, 4, 6, 1, 3, 5, 2 sin 2 2 2 n n n n pl bn p an =0(n=0 p , , 1, 2, 3,   ), ) 5 sin 5 3 1 sin 3 1 (sin 2 ( ) 2 2 2 = − + − l x l x l pl x M x p p p p ( 0xl). 所以M(x)的正弦级数展开式为 结束 因为函数M(x)的正弦级数的系数为 例 2 将函数        −   = x l p l x x px M x 2 l 2 ( ) 2 l 0 2 例2 ( ) 展开成正弦级数. 解 对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数, 其 傅里叶级数在[0, 1]上处处收敛于M(x)