天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第四章 数值积分与数值微分（4.3）Romberg算法

计算方法 第四章数值积分与数值微分 §43 Romberg算法

第四章 数值积分与数值微分 §4.3 Romberg算法

§43 Romberg算法 综合前几节的内容我们知道 梯形公式, Simpson公式 Cotes公式的代数精度分别为 1次,3次和5次 复合梯形、复合 Simpson、复合 Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?

§4.3 Romberg算法 综合前几节的内容,我们知道 梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为 1次,3次和5次 复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?

复合梯形公式的递推化 将定积分/=f(x)的积分区间[ab分割为m等份 各节点为 k=a+ ih j=0,1,…,nh b 复合梯形( Trapz)公式为 b 2n If(a)+2∑f(x)+f(b) 1 如果将[a,b分割为2n等份,而h=(b-a)/n不变则 I2如f()+2∑f(x)+2∑f(x1)+/(b) 0

一、复合梯形公式的递推化 将定积分I f x dx的积分区间 a b 分割为n等份 b a ( ) [ , ] ò = xk = a + jh , j = 0,1,L,n n b a h - 各节点为 = [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 1 1 å - = + + - = n j n j f a f x f b n b a T 复合梯形(Trapz)公式为 如果将[a,b]分割为2n等份，而h = (b - a)/n不变,则 [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )] 4 1 0 2 1 1 1 2 f a f x f x f b n b a T n j j n j n + j + + - = å å - = + - = --------(1) --------(2)

其中x1=x1+h=a+(+)h b 4n [f(a)+2∑f(x)+2∑f(x1)+f(b) 0 b-(a)+2/(x)+(b)+=2/(x) 0 =1r+b-2r(x)=1rn+bn/(a+(+ 0 j=0 b=a(a+(2)+1 n 2n j (3) 2n

[ ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )] 4 1 0 2 1 1 1 2 f a f x f x f b n b a T n j j n j n + j + + - = å å - = + - = x x h a j h j j ) 2 1 ( 2 1 2 1 = + = + + + 其中 å å - = + - = - + + + - = 1 0 2 1 1 1 2 ( ) 4 [ ( ) 2 ( ) ( )] 4 n j j n j j f x n b a f a f x f b n b a å - = + - = + 1 0 2 1 ( ) 2 2 1 n j j n f x n b a T å - = + + - = + 1 0 ) ) 2 1 ( ( 2 2 1 n j n f a j h n b a T å --------(3) - = - + + - = + 1 0 ) 2 ( (2 1) 2 2 1 n j n n b a f a j n b a T

n=1时,h=b-a 则由(1)(2)(3)式,有 b f(a)+∫(b) b f(a+h 若n=21记Tn=10(k-1)k=1,2,… b b-a x =a+ih=a+ 2 b X +h=a+(j+ a+(2j+1)

n = 1时，h = b - a 则由(1)(2)(3)式,有 [ ( ) ( )] 2 1 f a f b b a T + - = ) 2 1 ( 2 2 1 2 1 f a h b a T T + - = + (0) = T0 (1) = T0 ( 1) 记Tn = T0 k - 1 2 - = k 若n k = 1,2,L x a jh j = + 1 2 - - = k b a h x x h j j 2 1 2 1 = + + 1 2 ) 2 1 ( - - = + + k b a a j 1 2 - - = + k b a a j k b a a j 2 (2 1) - = + +

因此(1)(2)3)式可化为如下递推公式 b [f(a)+f(b) 6-a k-1-1 ∑f(a+(2j+1) b T0(k)=10(k-1)+ 2 0 2 k=1,2, 上式称为递推的梯形公式 思考 递推梯形公式加上一个控制精度即 可成为自动选取步长的复合梯形公式 具体的方法请同学们完成

因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式 [ ( ) ( )] 2 f a f b b a + - T0 (0) = å - = - - + + - = - + 2 1 0 0 0 1 ) 2 ( (2 1) 2 ( 1) 2 1 ( ) k j k k b a f a j b a T k T k k = 1,2,L ï î ï í ì (4)------- 上式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即 可成为自动选取步长的复合梯形公式 具体的方法请同学们完成 思考

外推加速公式 由复合梯形公式的余项公式 Ⅰ-T2n=3 (72n T 可得 由(3)式1 6-a T+ 32 2n ∑f(x1) 2 7n+4(b 6n ∑f(x1 j=0

二、外推加速公式 由复合梯形公式的余项公式 ( ) 3 1 T2 n T2 n T n I - » - T n T n I 3 1 3 4 可得 » 2 - n n j j n f x T n b a I T 3 1 ( )) 2 2 1 ( 3 4 1 0 2 1 - - » + å - = + 由(3)式 å - = + - » + 1 0 2 1 ( ) 6 4( ) 3 1 n j j n f x n b a T

1,b 1=32(f(a)+f(b)+2 2(x)+40∑/(x1) =0 ba(a)+/(b)+2/(x)+48(x 2 n 复合 Simpson公式 设n=2-11≈72 T0(k)-70(k-1) 引入7(k-1)令T(k-1)=70(k)-(k-1)

1 2 - = k 设n ( 1) 3 1 ( ) 3 4 = T0 k - T0 k - å å - = + - = - + + + - » 1 0 2 1 1 1 ( ) 6 4( ) ( ( ) ( ) 2 ( )] 2 [ 3 1 n j j n j j f x n b a f a f b f x n b a I ( ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( )] 6 1 0 2 1 1 1 å å - = + - = + + + - = n j j n j j f a f b f x f x n b a n = S 复合Simpson公式 T n T n I 3 1 3 4 » 2 - 引入 T1 (k - 1),令 ( 1) T1 k - ( 1) 3 1 ( ) 3 4 = T0 k - T0 k - n = S 1 2 = S k - --------(5) --------(6)

即 (6) 当然S2=71(k) 自己 因此由复合 Simpson公式的余项 证明 Ⅰ-S 2n 15 2n 1 16 可得 2 151515 15 令 72(k-1)=71()7 15 71(k-1)=Cn

( ) 15 1 2n 2n n I - S » S - S 因此由复合Simpson公式的余项 可得 n n I S S 15 1 15 16 » 2 - ( 1) 1 = T1 k - 2 即 = S k - ( 1) 15 1 ( ) 15 16 = T1 k - T1 k - n S ( ) 1 = T k n S 当然 2 ( 1) T2 k - ( 1) 15 1 ( ) 15 16 令 = T1 k - T1 k - = Cn 自己 证明 --------(6) = Cn --------(7)

即Cn=C2+=72(k-1) (8) 当然C2n=72() 同样由复合 Cotes公式的余项 1 ≈ 21 63 2n 64 64 1 得I≈mC 632n63 63 63 64 令T3(k-1) 72(k-1) -(9) 63 63

( 1) 1 = T2 k - 2 即 Cn = C k- --------(8) ( ) 2 当然 C2n = T k 同样由复合Cotes公式的余项 ( ) 63 1 C2n C2n Cn I - » - C n Cn I 63 1 63 64 » 2 - ( 1) 63 1 ( ) 63 64 得 = T2 k - T2 k - ( 1) 令 T3 k - ( 1) 63 1 ( ) 63 64 = T2 k - T2 k - --------(9)