天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第四章 数值积分与数值微分（4.1）

计算方法 第四章数值积分与数值微分

第四章 数值积分与数值微分

第四章数值积分与数值微分 §41 Newton-Cotes公式 §42复合求积法 §43 Romberg算法 §44*Gaus求积法 §45数值微分

第四章 数值积分与数值微分 §4.1 Newton-Cotes公式 §4.2 复合求积法 §4.3 Romberg算法 §4.4* Gauss求积法 §4.5 数值微分

本章要点 本章将用插值多项式P(x)代替被积函数f(x),从而导出 计算定积分f(x)d近似值的几个基本求积公式: (1)等距节点下的 Newton-Cotes公式和 Romberg公式 (2)数值微分公式

本章要点 计算定积分 近似值的几个基本求积公式： 本章将用插值多项式 代替被积函数 从而导出 ò b a f x dx P x f x ( ) ( ) ( ), (1) 等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式 (2) 数值微分公式

本章应用题 为了计算瑞士国土的面积首先对地图作了如下测以西 向东方向为x轴,由南向北方向为y轴选择方便的原点,并将 从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干 段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标, 数据如表(单位mm) 7.010.513.017.534.040.544.548.056.0 44 45 47 50 50 30 34 2 44 59 70 72 93 00110110110 61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5 Y 36 34 41 45 46 3 37 33 28 2117118116118118121124121121 x1.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2121122116 83 81 82 86 85 68

本章应用题: 为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量:以西 向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将 从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干 段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标, 数据如表(单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68

瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 120 100 60 20l 140 160 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较

0 20 40 60 80 100 120 140 160 20 40 60 80 100 120 140 瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较

§4.1 Newton- Cotes公式 对于积分 I(f)=f(x) dx 如果知道f(x)原函数F(x)则由Neon- leibniz公式有 f(x)dx =F(x)a= F()-F(a) 但是在工程技术和科学研究中常会见到以下现象: (1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值 (2)f(x)原函数F(x)求不出来如F(x)不是初等函数 (3)f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难

§4.1 Newton-Cotes公式 ò = b a 对于积分 I( f ) f (x)dx 如果知道f (x)的原函数F(x),则由Newton - Leibniz公式有 ò b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a = = - 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: (1) f (x)的解析式根本不存在,只给出了f (x)的一些数值 (2) f (x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数 (3) f (x)的表达式结构复杂,求原函数较困难

以上这些现象 Newton- Leibniz很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 这类方法很多但为方便起见最常用的一种方法是利用 插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点 a≤x0<x1<…<xn b 作f(x)的m次插值多项式 Ln(x)=∑f(x)(x) 不同的 插值方法 有不同的 l(x)(k=01…,m)为插值基函数 基函数

以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用 插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点 a £ x0 < x1 <L < xn £ b 作f (x)的n次插值多项式 å= = n k n k k L x f x l x 0 ( ) ( ) ( ) l k (x)(k = 0,1,L,n)为插值基函数 不同的 插值方法 有不同的 基函数

用Ln(x)作为被积函数f(x)的近似有 f(x)dx< Ln(x dx=l2f(x)(x)dx =∑(x)4(k k=0 若计4=J14(女x,则 ()=(x)x=∑4(x)=l,() k=0 这就是数值求积公式其中A4称为求积系数 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立

用Ln (x)作为被积函数f (x)的近似,有 ò b a f (x)dx ò » b a Ln (x)dx ò å= = b a n k k k f x l x dx 0 ( ) ( ) å ò = = n k b a k k f x l x dx 0 ( ) ( ) 若计 = ò ，则 b a Ak l k (x)dx ò = b a I( f ) f (x)dx å= » n k k k A f x 0 ( ) 这就是数值求积公式 其中 Ak 称为求积系数 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立 I ( f ) = n

因此定义代数精度的概念: 定义1.若求积公式 ()=f(x)≈∑4(x)=l() k=0 对任意次数不超过m次的代数多项式P(x)(≤m)都准确成立,即 P(x)dx=∑ AK P(k i=0,1,…,m k=0 但对m+1次多项式却不能准确成立,即只要 m+1 m+1 xax ∑ k=0 代数精度也称 则称该求积公式具有m次的代数精度代数精确度

因此定义代数精度的概念: 定义1. 若求积公式 ò = b a I( f ) f (x)dx ( ) ( ) 0 A f x I f n n k » å k k = = 对任意次数不超过m次的代数多项式Pi (x)(i £ m)都准确成立,即 但对m + 1次多项式却不能准确成立,即只要 ò b a Pi (x)dx å= = n k k i k A P x 0 ( ) i = 0,1,L,m ò + b a m x dx 1 å= + ¹ n k m k k A x 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精度 代数精度也称 代数精确度

例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 ()=f(x)x≈[f(0)+f(h)+ahL(0)-f(h)=1( 解对于f()=x91=x=b1=h h 对于f(x)=x2=xax= h 2 2 对于f(x)=x2 h h x=31=2+ah0-2h1 2a)h 令=1 12

例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. [ (0) ( )] [ (0) ( )] ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 0 f f h ah f f h I f h I f f x dx h = » + + ¢ - ¢ = ò ò = h I x dx 0 0 解: 2 2 1 h I = [0 2 ] 2 2 3 1 ah h h I = + - 0 对于 f (x) = x = h I1 = h ò = h I x dx 0 1 1 对于 f (x) = x 2 2 h = ò = h I x dx 0 2 2 对于 f (x) = x 3 3 h = 3 2 ) 2 1 = ( - a h 1 令I = I 12 1 a =