天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第六章 逐次逼近法（6.1）基本概念

计算方法 第六章逐次逼近法

第六章 逐次逼近法

第六章逐次逼近法 §61基本概念 S62线性方程组的迭代法 S63非线性方程组的迭代法 S64矩阵特征值问题的数值算法 S65迭代法的加速

第六章 逐次逼近法 §6.1 基本概念 §6.2 线性方程组的迭代法 §6.3 非线性方程组的迭代法 §6.4 矩阵特征值问题的数值算法 §6.5 迭代法的加速

本章要点 本章主要介绍线性方程组的迭代法、非线性方程组 的数值方法 主要方法 基本迭代法、G-J迭代法、GS迭代法、 Newton迭代法、SOR方法和 Aitken加速方法

本章要点 本章主要介绍线性方程组的迭代法、非线性方程组 的数值方法 主要方法 基本迭代法、G-J迭代法、G-S迭代法、 Newton迭代法、SOR方法和Aitken加速方法

§61基本概念 维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的"长度"能否定义呢? "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广 数域:数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 也称为向量空间

§6.1 基本概念 "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的"长度"能否定义呢? 也称为向量空间

、向量和矩阵的范数 定义1.对于n维向量空间R中任意一个向量x, 若存在唯一一个实数|∈R与x对应,且满足 (1)(正定性)≥0,且∨x∈R",x=0今x=0; (2)(齐次性)x=(,x∈R”,a∈R; 3)(三角不等式)x+y≤x+|py,x,y∈Rn 则称|x为向量x的范数 对于复线性空间C中的向量范数可以类似定义

定义1. n R x, 对于 维向量空间 n中任意一个向量 一、向量和矩阵的范数 若存在唯一一个实数 x Î R与x对应，且满足 (1) ( ) x ³ 0, "x Î R , x = 0 Û x = 0; 正定性 且 n (2) ( ) x x x R , R; n 齐次性 a = a × ，" Î a Î (3) ( ) , . n 三角不等式 x + y £ x + y ，"x y Î R 则称 x 为向量x的范数. 对于复线性空间C n中的向量范数可以类似定义

在向量空间R(C)中,设x=(x1,x2…,x) 常用的向量x的范数有 x1+|x2+…+x x的2一范数或欧氏范数 x1=|x1|+2+…+|xn -(2) x的1-范数 Il= max Ix, 3) x的∞-范数或最大范数

T n n n R (C ) , x ( x , x , , x ) 在向量空间 中 设 = 1 2 L 常用的向量 x的范数有 2 x 2 2 2 1 2 2 1 ( ) n = x + x + L + x x的2 - 范数或欧氏范数 1 x n = x + x + L + x 1 2 x的 1 -范数 ¥ x i i n x £ £ = 1 max x的¥ - 范数或最大范数 --------(1) --------(2) --------(3)

xD=(x|1+x2|2+…+|xn x的p-范数,p≥1 显然|x和|l2是|在p=1和p=2时的特例 并且由于 max x s(kx1"+k2+…+xn)≤(maxx) 1(P→时)所以也是|,的特例 且|x2≤1|xl2≤x

p x p p n p p x x x 1 1 2 = ( + + L + ) x的p -范数, p ³ 1 2 和 x 1 显然 x 是 x p在p = 1和p = 2时的特例 并且由于 p p n p p x x x 1 1 2 £ ( + + L + ) £ £ i i n x 1 max p p i i n n x 1 1 ( max ) £ £ £ i i n p n x £ £ = 1 1 max max ( ) 1 ® ® ¥ £ £ x p i i n ¥ 所以 x 也是 x p的特例 --------(4) ® ( ® ¥时), ¥ x x p p 2 1 x £ x £ x 且 ¥

例1.求下列向量的各种常用范数 x=(1,4,3,-1) 解 |x1+x2+∴+ x2=(|x2+|2+…+42)=√27=33 Ix= max 1x,1=4

例1.求下列向量的各种常用范数 T x = (1,4,3,-1) 解: 1 x 1 2 4 = x + x + L + x = 9 2 x 2 2 1 4 2 2 2 1 = ( x + x + L + x ) = 27 = 3 3 ¥ x i i x 1 4 max £ £ = = 4

定义2 对于空间R中任意一个矩阵A, 若存在唯一一个实数4∈R与A对应,且满足 (1)(正定性)‖4≥0,且VA∈R",4=0A=0; (2)(齐次性)]A=k4,vA∈R,∈R; (3)(三角不等式)4+酬≤4+|B,VA,B∈R 4)‖4B≤4·|B,VA,B∈R” 则称4为矩阵A的范数 对于复空间C中的矩阵范数可以类似定义

定义2. R A, 对于空间 n´n中任意一个矩阵 若存在唯一一个实数 A Î R与A对应，且满足 (1) ( ) ³ 0, " Î , = 0 Û = 0; ´ A A R A A 正定性 且 n n (2) ( ) A A A R , R; n n = × " Î Î ´ 齐次性 a a ， a (3) ( ) , . n n A B A B A B R ´ 三角不等式 + £ + ，" Î 则称 A 为矩阵A的范数. 对于复空间C n´n中的矩阵范数可以类似 定义 (4) , . n n AB A B A B R ´ £ × ，" Î

例2.设m阶方阵A=(an)n类似向量的2-范数 12 设4=∑∑ (5) 不难验证其满足定义2的4个条件 因此‖4是一种矩阵范数 称为 Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证41=((44)2=((4) tr为矩阵的迹

例2. n A = aij n´n 设 阶方阵 ( ) 2 1 1 1 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = åå= = n i n j F ij 设 A a 不难验证其满足定义2的4个条件 因此 A F 是一种矩阵范数 称为Frobenius范数,简称F-范数 ( ) ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) T T F 而且可以验证 A = tr A A = tr AA tr为矩阵的迹 --------(5) --------(6) 类似向量的 2-范数