天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第三章 插值法和最小二乘法（3.1）

计算方法 第三章插值法和最小二乘法

第三章 插值法和最小二乘法

第三章插值法和最小二乘法 §31插值法 §32插值多项式中的误差 §33分段插值法 §34 Newton插值 §35 Hermite插值 §36三次样条插值 §37数据拟合

第三章 插值法和最小二乘法 §3.1 插值法 §3.2 插值多项式中的误差 §3.3 分段插值法 §3.4 Newton插值 §3.5 Hermite插值 §3.6 三次样条 插值 §3.7 数据拟合

本章要点用简单的函数(如多项式函数作为一个 复杂函数的近似最简单实用的方法就是 插值而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法: Lagrange插值、分段线性插值 Newton插值、 Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法

本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法

本章引例: Hooker定律 弹簧在力F的作用下伸长x,一定范围内服从 Hooker定律: F与x成正比,即F=kx,k为弹性系数,现在得到下面一组 x,F数据(如表)并在(x,F)坐标下作图(如图)可以看出, 当F达到一定数值后,就不服从 Hoo ker定律试由数据确 定k,并给出不服从 Hooker定律时的近似公式 x(cm)1247912131517 F(kg)1.5396.611.715618.819.620.6211

本章引例: Hooker定律 弹簧在力F的作用下伸长x,一定范围内服从Hooker定律： F与x成正比,即F = kx, k为弹性系数,现在得到下面一组 x,F数据(如表),并在( x,F)坐标下作图(如图).可以看出， 当F达到一定数值后,就不服从Hooker定律.试由数据确 定k ,并给出不服从Hooker定律时的近似公式. ( ) 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 ( ) 1 2 4 7 9 12 13 15 17 F kg x cm

25 20 15 10 16 伸长X

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 力 F 伸 长 x

§31插值法 、插值问题 对函数f(x),其函数形式可能很复杂,且不利于在计算机上 运算,假如可以通过实验或测量,可以获得f(x)在区间ab 上的一组n+1个不同的点 a≤xn<x1<x2<…<x,≤b 上的函数值y2=f(x)i=0,1,2…,n 能否存在一个性能优良、便于计算的函数 比如多项式函数P(x),满足

§3.1 插值法 对函数f (x),其函数形式可能很复杂,且不利于在计算机上 上的一组 个不同的点 运算 假如可以通过实验或测量 可以获得 在区间 1 , , ( ) [ , ] n + f x a b a x x x x b £ 0 < 1 < 2 <L< n £ y f x i n i i 上的函数值 = ( ), = 0,1,2,L, 能否存在一个性能优良、便于计算的函数 比如多项式函数 P( x), 满足 一、插值问题

P(x)=y1t=0,1,2,,n 并且用P(x)近似代替f(x) 这就是插值问题,(1)式为插值条件 称函数P(x)为函数f(x)的插值函数 如果P(x)为多项式函数,则称之为插值多项式 点x,i=0.1,2…,n,称为插值节点 区间ab]称为插值区间 如函数y=sinx,若给定[0,m上5个等分点 其插值函数的图象如图

P(xi ) = yi i = 0,1,2,L,n 并且用P(x)近似代替f (x) ------(1) 这就是插值问题, (1)式为插值条件, 称函数P(x)为函数f (x)的插值函数 如果P( x)为多项式函数,则称之为插值多项式 点 xi , i = 0,1,2,L,n,称为插值节点 区间[a,b]称为插值区间 如函数y = sin x,若给定[0,p ]上5个等分点 其插值函数的图象如图

sinx的插值 0.7 1.5 对于被插函数f(x)和插值函数P(x) 在节点x处的函数值必然相等 但在节点外P(x)值可能就会偏离f(x) 因此P(x)近似代替f(x)必然存在着误差

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s inx 的 插 值 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s inx 的 插 值 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s inx 的 插 值 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s inx 的 插 值 x y 对于被插函数f (x)和插值函数P( x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外P(x)的值可能就会偏离f (x) 因此P( x)近似代替f ( x)必然存在着误差

整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 、代数插值多项式的存在唯一性 设函数y=f(x)在区间[a,b]的代数插值多项式为 P(x)=ao +a,x+a2x+..+anx 且满足P(x)=y1=012 3)

二、代数插值多项式的存在唯一性 整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 设函数 y = f (x) 在区间[a,b]上的代数插值多项式为 n n n P x = a + a x + a x +L+ a x 2 0 1 2 ( ) 且满足 Pn (xi ) = yi i = 0,1,2,L,n --------(2) --------(3)

即多项式P(x)的系数a,1,a2…,an满足线性方程组 +a1x1+a2x1+……+a (4) 十a1x+axn+…+a,x n n 上述方程组的系数行列式为n+1阶范德蒙( Vandermonde) 行列式 0 x;≠x ∏I(x -x)≠0 0 j

即多项式Pn ( x)的系数a0 ,a1 ,a2 ,L,an满足线性方程组 0 0 2 0 1 0 2 0 a a x a x a x y n + + +L+ n = 1 1 2 0 1 1 2 1 a a x a x a x y n + + +L+ n = n n n n n n a + a x + a x +L+ a x = y 2 0 1 2 LLLL ï ï î ï ï í ì --------(4) 上述方程组的系数行列式为n+1阶范德蒙（Vandermond） 行列式 n n n n n n x x x x x x x x x V L L L L L L L L 2 1 2 1 1 0 2 0 0 1 1 1 = Õ Õ - = = + = - 1 0 1 ( ) n i n j i j i x x i j x ¹ x ¹ 0