天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第四章 数值积分与数值微分（4.2）复合求积法

计算方法 第四章数值积分与数值微分 §42复合求积法

第四章 数值积分与数值微分 §4.2 复合求积法

§42复合求积法 当积分区间a,b的长度较大,而节点个数n+定时 直接使用 Newton- Cotes公式的余项将会较大 而如果增加节点个数,即n+1增加时 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法 即将积分区间a,6分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶 Newton- Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加

§4.2 复合求积法 当积分区间[a,b]的长度较大,而节点个数n + 1固定时 直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大 而如果增加节点个数,即n + 1增加时 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法 即将积分区间[a,b]分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加

复合求积公式 b 将定积分f(x)d的积分区间a,b分割为m等份 各节点为xk=a+kh,k=0,1…,nh=b=a 在子区间[x,x1(=0,1…,m-1)上使用Neon-Cots公式 将[xkx*1分割为等份步长为,节点为 h 2h +,Xk+ 记为xk h′x x k k+ 丿巩1-k+1 k+

一、复合求积公式 将定积分 f x dx的积分区间 a b 分割为n等份 b a ( ) [ , ] ò xk = a + kh , k = 0,1,L, n n b a h - 各节点为 = 在子区间[xk , xk +1 ](k = 0,1,L,n - 1)上使用Newton -Cotes公式 将[ , 1 ]分割为 等份,步长为 ,节点为 l h x x l k k + 1 , , 2 , , k k + k + k + = k + x l lh x l h x l h x x L 记为 1 2 1 , , , , + + + + = k l l k l k l k k x x x L x x

在xkx#1l上作f(x)的阶Neon-Coes求积公式 f(x)dx≈/)=( k+1 (D)flx.i i=0 h∑C0f(x) k 由积分的区间可加性可得 ()k=∑ f(x)d3 x 复合求积公式21=b2∑C0fx)=1 k=0 k=0i=0

( ) 1 ( ) k l x x f x dx I k k ò + » å= + = + - l i l i k l k k i x x C f x 0 ( ) 1 ( ) ( ) 在[xk , xk +1 ]上作f (x)的l阶Newton -Cotes求积公式 å= + = l i l i k l i h C f x 0 ( ) ( ) ò b a f (x)dx åò - = + = 1 0 1 ( ) n k x x k k f x dx å - = » 1 0 ( ) n k k l I 由积分的区间可加性,可得 åå - = = + = 1 0 0 ( ) ( ) n k l i l i k l i h C f x 复合求积公式 n = I

l=1时,可得复合梯形求积公式 f(x)xh=b∑∑Cf(x) k=0i=0 ∑f(x)+f(xk+1 k=0 复合梯形公式T b f(a)+2∑f(xk)+f(b 2n k=1 1=2时,可得复合 Simpson求积公式 f(x)xsS=b∑∑c}2(x,) k=0i=0

l = 1时,可得复合梯形求积公式 n b a f x dx » T ò ( ) åå - = = = + 1 0 1 0 (1) ( ) n k i i k i h C f x å - = = + + 1 0 1 [ ( ) ( )] 2 1 n k k k h f x f x [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 1 1 å - = + + - = n k n k f a f x f b n b a 复合梯形公式 T l = 2时,可得复合Simpson求积公式 åå - = = + = 1 0 2 0 2 (2 ) ( ) n k i i k i n h C f x b a f x dx » S ò ( )

b 1 f(x)x≈Sn=b∑A[f(x)+4f(x-1)+f(x+1) k k=0 复合 Simpson公式 复合抛物线公式 =b2(a)+2/(x1)+2/()+(b k+ k=0 k=1 l=4时,可得复合 Cotes求积公式 复合 Cotes公式 b 八(xkCn=b∑cf(x) k=0i=0 如∑[7f(xk)+32(x1)+12(x2)+32f(x3)+7(xk+1 k=0 4 4 I7f(a)+∑[32f(x1)+12f(x,2)+32f(x 901 ∑f(x)+7/(b) k=0 k k 3力+14

复合Simpson公式 复合抛物线公式 n b a f x dx S ò ( ) » å - = + + = + + 1 0 1 2 1 [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 1 n k k k k h f x f x f x [ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )] 6 1 1 1 0 2 f a f x 1 f x f b n b a n k k n k k + + + - = å å - = - = + l = 4时,可得复合Cotes求积公式 åå - = = + = 1 0 4 0 4 (4) ( ) n k i i k i n h C f x b a f x dx » C ò ( ) [7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )] 90 1 1 0 4 3 4 2 4 1 + - = + + + = å + + + + k n k k k k k f x f x f x f x f x h [7 ( ) [32 ( ) 12 ( ) 32 ( )] 14 ( ) 7 ( )] 90 1 1 1 0 4 3 4 2 4 1 f a f x f x f x f x f b n b a n k k n k k k k + + + + + - = å å - = - = + + + 复合Cotes公式

(b T [f(a)+f(b)] 复合梯形公式分解 2 [f(a)+f(x1) [f(x1)+f(x2) X,,X3 T h 2 [f(x2)+f(x3) h [f(x)+f(x4) 2n-1 +f(x [f(xn21)+f(b) 2 =2U(a)+2/(x)+2/x)+…+2f(x1)+f(b)

[ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a T + - = [ , ] 0 1 x x [ ( ) ( )] 2 1 (0) f a f x h T = + [ , ] 1 2 x x 2 (1) h T = [ ( ) ( )] 1 2 f x + f x [ , ] 2 3 x x 2 (2) h T = [ ( ) ( )] 2 3 f x + f x [ , ] 3 4 x x 2 (3) h T = [ ( ) ( )] 3 4 f x + f x [ , ] n-2 n-1 x x 2 ( 2) h T n = - [ ( ) ( )] n-2 + n-1 f x f x [ , ] n 1 n x x - 2 ( 1) h T n = - [ ( ) ( )] f xn-1 + f b 2 h Tn = [ f (a) + 2 f (x1 ) + 2 f (x2 ) + L+ 2 f (xn-1 ) + f (b)] 复合梯形公式分解

+ S==[f(a)+4∫ +∫(b 复合 Simpson公式分解 x0nS0)方 [f(a)+4f(x 1)+f(x1) 0 h 1 [f(x1)-4f(x1)+f(x2) [f(xn1)"4f(x1)+f(b)] 1+ Sn=Da)+4∑f(x1)+2∑f(x)+f( k=0 k=1

) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 f b a b f a f b a S + + + - = [ , ] 0 1 x x 6 (0 ) h S = [ ( ) 4 ( ) ( )] 1 2 1 0 f a + f x + f x + [ , ] 1 2 x x 6 (1) h S = [ ( ) 4 ( ) ( )] 2 2 1 1 1 f x + f x + f x + [ , ] n 1 n x x - 6 ( 1) h S n = - [ ( ) 4 ( ) ( )] 2 1 1 1 f x f x f b n n + + - + - 6 h Sn = [ f (a) + å + - = + 1 0 2 1 4 ( ) n k k f x å + - = 1 1 2 ( ) n k k f x f (b)] 复合Simpson公式分解

例1.使用各种复合求积公式计算定积分I Sinx 解:为简单起见依次使用8阶复合梯形公式、4阶 复合 Simpson公式和2阶复合 Cotes公式 可得各节点的值如右表 Trapz Simp. Cotes f(,) 0 0.1250.99739787 复合求积 公式的程序 0+20.25 0.98961584 x3x2x0÷0.375 newtoncotes. m 0.97672674 0.5 0.95885108 函数程序 x22x+|06250.93615564 unc. m 11075 0.90885168 x2:1087508779257 0.84147098

例1. ò = 1 0 sin dx x x 使用各种复合求积公式计算定积分 I 解: 为简单起见,依次使用8阶复合梯形公式、4阶 复合Simpson公式和2阶复合Cotes公式 可得各节点的值如右表 0 1 0.125 0.99739787 0.25 0.98961584 0.375 0.97672674 0.5 0.95885108 0.625 0.93615564 0.75 0.90885168 0.875 0.87719257 1 0.84147098 ( ) i i x f x 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x x x x x x x x x Trapz 4 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 . x x x x x x x x x Simp + + + + 2 4 3 1 2 1 1 4 1 1 1 4 3 0 2 1 0 4 1 0 0 x x x x x x x x x Cotes + + + + + + 复合求积 公式的程序 newtoncotes.m 函数程序 func.m

分别由复合 Trapz、 Simpson、 Cotes公式有 7=160)+2(x)+/(1)=0959868 24 [f(0)+4∑f(x1)+2∑f(x)+f(1) k=0 =0.94608331 18070+>32/(x12)+12/(x2)+32(x2)+142(x)+7 =0.94608307

T8 [ (0) 2 ( ) (1)] 16 1 7 1 å= = + + k k f f x f 分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有 = 0.94569086 S4 [ (0) 4 ( ) 2 ( ) (1)] 24 1 3 1 3 0 2 1 f f x f x f k k k k = + å + å + = = + = 0.94608331 C2 [7 (0) [32 ( ) 12 ( ) 32 ( )] 14 ( ) 7 (1)] 180 1 1 1 1 0 4 3 4 2 4 1 f f x f x f x f x f k k k k k k = +å + + + å + = = + + + = 0.94608307