天津大学：《数值计算》课程教学资源（讲稿）第三章 插值法和最小二乘法（3.2）插值多项式中的误差

计算方法 第三章插值法和最小二乘法 §32插值多项式中的误差

第三章 插值法和最小二乘法 §3.2 插值多项式中的误差

§32插值多项式中的误差 、插值余项 从上节可知,y=f(x)的 Lagrange值 Ln(x)=∑y/(x) 满足Ln(x)=f(x)i=0,1,…,n 但x∈[a,b n(x)=f(x)不会完全成立 因此插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢?

§3.2 插值多项式中的误差 一、插值余项 从上节可知, y = f (x)的Lagrange插值 å= = n j n j j L x y l x 0 ( ) ( ) 满足 Ln (xi ) = f (xi ) i = 0,1,L, n 但 "xÎ[a,b] L (x) f (x) n = 不会完全成立 因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？

假设在区间a,b]上f(x)插值多项式为P(x) R,(x)=f(x)-p(r 显然在插值节点为x(=01…,n)上 Rn(x)=f(x)-P(x)=0,i=0,1,…,n 因此Rn(x)在[a,b上至少有n+1个零点 设 R, (x=k(xom(x) 其中0m1(x)=(x-x0(x-x1)…(x-xn)K(x)为待定函数 R,(x)=f(x-P(x)=k(xon(x)

[a,b] f (x) P (x) 假设在区间 上 的插值多项式为 n R (x) f (x) P (x) 令 n = - n 显然在插值节点为xi (i = 0,1,L,n)上 ( ) ( ) ( ) n i i n i R x = f x - P x = 0 ,i = 0,1,L,n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有n +1个零点 ( ) ( ) ( ) 1 R x K x x 设 n = wn+ ( ) ( )( ) ( ) n 1 0 1 n x = x - x x - x x - x 其中 w + L K(x)为待定函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 R x f x P x K x x n = - n = wn+

f(x)-Pn(x)-k(x)0n1(x)=0 注意t与x 的区分 若引入辅助函数q(1)=f(t)-Pn(1)-K(x)On1(t) 也可令q(t) 则有q(x)=f(x)-P2(x)-K(x)0n+1(x)=0 R(xom+1( R(t)0n+1(x) 且0(x)=f(x)-P(x)-K(x)n+1(x) Rn(x,)-K(x)On+1(x1)=0i=0,1 因此,若令x≠x2p(1)在区间ab上至少有n+2个零点即 (x)=0,(x1) 由于P(x)和on1(x)为多项式因此若f(x)可微,则o(t)也可微

( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x P x K x x - n - wn+ = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t f t P t K x t 若引入辅助函数j = - n - wn+ 则有 j(x) = 0 的区分 注意t与x ( )i 且 j x ( ) ( ) ( ) n i n 1 i R x K x x = - w + = 0 因此,若令x ¹ xi ,j(t)在区间[a,b]上至少有n + 2个零点,即 j(x) = 0 , i = 0,1,L, n j(xi ) = 0 , i = 0,1,2,L, n 由于Pn (x)和wn+1 (x)为多项式,因此若f (x)可微,则j(t)也可微 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 R t x R x t t n n + + - = w w 也可令j ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x P x K x x = - n - wn+ ( ) ( ) ( ) ( ) i n i n 1 i f x P x K x x = - - w +

根据Roll定理,q(t)在区间(a,b)上有至少n+1个零点 再由Role定理,φ"(t)在区间a,b)上有至少n个零点 依此类推 在区间(a,b内至少有一个点,使得q()的n+阶导数为零 (n+1) (5)=0 p()=f(0)-P(1)-K(x)on+1(t) 由于om(t)=fm+(t)-Pm+(1)-K(x)om+() 因此9()=/"(5)-P(5)-K(x)om f(n(2)-K(x)(n+1)!=0

根据Rolle定理, j¢(t)在区间(a,b)上有至少n +1个零点 再由Rolle定理, j¢¢(t)在区间(a,b)上有至少n个零点 依此类推 在区间(a,b)内至少有一个点x ,使得j(t)的n +1阶导数为零 ( ) 0 ( 1) = + j x n ( ) ( 1) t n+ j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t f t P t K x t n n+ j = - - w ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) f t P t K x t n n n n n + + + + 由于 = - - w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) j x x x w x + + + + + = - - n n n n n n 因此 f P K x ( ) ( ) ( 1)! ( 1) = - × + + f K x n n x = 0

K(x) f(n(2) (n+1) 所以R(x)=K(x)0On+1(x) f(m(2) n+1 (n+ 称Rn(x)为插值多项式P(x)的余项(截断误差) 定理1.设f(x)在区间ab上n+阶可微,P(x)为(x)在[a,b上的 n次插值多项式插值节点为x}=oc[a,b则vx∈[a,b有 R,(x)f(s) 1(x) n+ Lagrange型余项 其中on1(x)=1(x-x),5∈(a,b),且依赖于x i=0

( 1)! ( ) ( ) ( 1) + = + n f K x n x ( ) ( ) ( ) 1 R x K x x n = wn+ ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x 所以 称R (x)为插值多项式P (x)的余项(截断误差) n n 定理1. 次插值多项式 插值节点为 则 有 设 在区间 上 阶可微 为 在 上的 , { } [ , ], [ , ], ( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ] n x 0 a b x a b f x a b n P x f x a b n i i n Ì " Î + = R (x) n ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x ( ) ( ) , 0 1 Õ= + = - n i n i 其中 w x x x x Î(a,b) , 且依赖于x. Lagrange型余项

设 n+1 max b Nn1=On1(x)∏(x-x) (n+1 则R(x) O n+1 X n+ 1 (n+1)!+1

max| ( )| ( 1) 1 M f x n a x b n + £ £ + = | ( )|| ( )| 0 1 1 Õ= + = + = - n i n n i N w x x x 设 则 |Rn (x)| ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x 1 1 ( 1)! 1 + + + £ Mn Nn n

例1:在上节例中若f(x)=√x,三个节点为1416925 试估计用 Lagrang饯线性和二次插值做f(175)近似值的 截断误差. 解:设R(x)为 granges线性插值的余项 R2(x)为二次 Lagrange插值的余项 f(x)= f"(x) f"(x)=。x2 X 8 maXf"(x)=f(169)≤1.14×10 169<x<225 M3=,max,1|(x)|="(14)13151×106

例1: 在上节例1.中,若f (x) = x ,三个节点为144,169,225 设R1 (x)为Lagrange线性插值的余项 R2 (x)为二次Lagrange插值的余项 解: . (175) 截断误差 试估计用Lagrange线性和二次插值做f 近似值的 x f x 2 1 ¢( ) = 2 3 4 1 ( ) - f ¢¢ x = - x 2 5 8 3 ( ) - f ¢¢¢ x = x max | ( )| 169 225 2 M f x x = ¢¢ £ £ =| f ¢¢(169)| 4 1.14 10- £ ´ max | ( )| 144 225 3 M f x x = ¢¢¢ £ £ =| f ¢¢¢(144)| 6 1.51 10- £ ´

N2(175)=02(175)|=(175-169)(175-225)=300 N3(175)=03(175)=(175-144)175-169)(175-225)=9300 1 R(175)≤,M2N2≤×114×104×300≤171×102 R2(175)|s21M3N3≤×1.51×106×9300≤235×103 6 从以上分析可知在求√175时 用 Lagrange二次插值比线性插值的误差更小

(175) | (175) | N2 = w2 =|(175 - 169)(175 - 225)|= 300 (175) | (175)| N3 = w3 =|(175 - 144)(175 - 169)(175 - 225)|= 9300 | (175)| R1 2 2 2! 1 £ M N 1.14 10 300 2 1 4 £ ´ ´ ´ - 2 1.71 10- £ ´ | (175) | R2 3 3 3! 1 £ M N 1.51 10 9300 6 1 6 £ ´ ´ ´ - 3 2.35 10- £ ´ 用 二次插值比线性插值的误差更小 从以上分析可知 在求 时 Lagrange , 175

例2.设函数f(x) 1+ 2x∈|55 将55等份取n+1个节点x=5+h=10;=01… 试就n=2468,10作f(x)的n次 Lagrange插值多项式 并作图比较 解:y=f(x) 1+ 作n次 Lagrange插值多项式 L(x)=∑2∏ X-x 1+ n=2,4,68,10 j=0 i=0

例2. , [ 5,5] 1 1 ( ) 2 Î - + = x x 设函数 f x i n n n n xi ih h , 0,1, , 10 将[-5,5] 等份取 + 1个节点 = -5 + , = = L 试就n = 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式 并作图比较. 解: 2 1 1 ( ) i i i x y f x + = = 作n次Lagrange插值多项式 å Õ = ¹ = ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - × + = n j n i j i j i i j n x x x x x L x 0 0 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) n = 2,4,6,8,10