北京大学：《电磁学》课程教学资源（PPT课件）第一章 静电场（1.4）环路定理

§4环路定理 习题 p741-24、25、26 36、37、39、41

§4 环路定理 习题 p74 1-24、25、26、 36、37、39、41

静电场力做功与路径无关 电荷间的作用力是有心力—环路定理 ■讨论静电场的环流 流速场的环流∮d ≠0→有旋 =0→无旋 静电场:电力线不闭合 →4E·dl=0 可以猜到静电场的环流为零 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 静电场力做功与路径无关 ◼ 电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 ◼ 讨论静电场的环流     =     无 旋 有 旋 流速场的环流 0 0 v dl ◼ 静电场：电力线不闭合 ◼ 可以猜到静电场的环流为零   E dl = 0

证明 x二±二-二- M ■单个点电荷产生的场0 广+dPK′N ■把试探电荷q从P移到Q PQ Fdi=C Fcos Bdl= Fdr=[ Fdr=4g P JP P 4兀50r g90 PO go E(rdr 4兀0 4丌En(r ■静电场力做功只与起点终点有关,与路径无关 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 证明 ◼ 单个点电荷产生的场 ◼ 把试探电荷q0从P移到Q      =  = = = = Q P Q P r r Q P r r Q P Q P P Q r qq dr A F dl F dl Fdr Fdr ' ' 2 0 0 4 cos      =         = = − Q P Q P r r p Q r r PQ q E r dr r r qq r qq dr A ' ' ( ) 1 1 4 4 0 0 ' 0 2 0 0     ◼ 静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关

点电荷组产生的场 E ,+e 2 ■在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 A F·al PQ E·al P qo|E1:d+|1E2dl+…Enl P 4兀 2 On P到 的距离 Q到q1的 距离 每项均与路径无关,只与位置有关 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 点电荷组产生的场 ◼ 在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 q q qn , , , 1 2  E = E1 + E2 ++ En     =  +  +  =  =       Q P n Q P Q P Q P Q P P Q q E dl E dl E dl A F dl q E dl            0 1 2 0         + −                 + −         = − Q n n p n n p Q p Q r q r q r q r q r q r q q  2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 4  P到 q1 的距离 Q到q1的 距离 每项均与路径无关，只与位置有关

任意有限大的带电体产生的电场 可以将带电体无限分割成微元,每一个 微元均为一点电荷—点电荷组 结论:在任何电场中移动试探电荷时, 电场力所做的功除了与电场本身有关外, 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关,与移动电荷所走过的路径无关 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 任意有限大的带电体产生的电场 ◼ 可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 ◼ 结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关

Q 静电场的环路定理 静电场力做功与路径无关等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零 →E·dl=0 ■在任意电场中取一闭合回路,将试探电荷沿路径 L从pQ—P,电场力所做的功为 A=q0「E·dl=q0E·dl+qnE:dl P(L1) Q(L2) E·dl E·dl=0 →φE·dl=0 p(L1) p(L2) 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 静电场的环路定理 ◼ 静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零   E dl = 0 ◼ 在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为    =  =  +  P Q L Q P L L A q E dl q E dl q E dl ( ) 0 ( ) 0 0 1 2 0 ( ) 0 ( ) 0 1 2 =  −  =   Q p L Q p L q E dl q E dl   E dl = 0

讨论 ■在证明Gass定理中,说电力必须与r成反比, 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r成 反比? ■答:不一定如弹性力∫=kr也有类似性质 ■哪些力具有做功与路径无关这种性质? ■引力 引入引力势能 重力引入重力势能势函数 弹性力=引入弹性势能 (位) 静电力—引入静电势能 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 讨论 ◼ 在证明Gauss定理中，说电力必须与r 2成反比， 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r 2成 反比？ ◼ 答：不一定 如弹性力 f = k r 也有类似性质 ◼ 哪些力具有做功与路径无关这种性质？ ◼ 引力 引入引力势能 ◼ 重力 引入重力势能 势函数 ◼ 弹性力 引入弹性势能 （位） ◼ 静电力 引入静电势能

电势能、电势差、电势 电场力 定义 静电场与q有能量交换 的功 Apg=qo L Edi ewpo=Wp-Wo-=(Wo-Wp 电势能的 q在P点 改变量 的电势能 q在Q点电势增量 的电势能 ■可以与重力做功类比 电场力做正功,电势能将减少 电场力做负功,电势能将增加 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 电势能、电势差、电势 ◼ 可以与重力做功类比 ◼ 电场力做正功，电势能将减少 ◼ 电场力做负功，电势能将增加 电势能的 改变量 q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能 电势增量 ( ) 0 P Q P Q Q P Q P AP Q = q  E dl = W = W −W = − W −W 电场力 定义 静电场与q0有能量交换 的功

电势的定义 >0电场付出能量,能量减 PO Wpo(电势能的减少与场源和均有关 <0电场吸收能量,能量增 从中扣除q即引入电势 PQ APO=U=TEdI P、Q两点之间的电势差定义为 从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 ■单位正电荷的电势能差 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 电势的定义 ◼ 从中扣除q0,即引入电势       =  电场吸收能量，能量增加 (电势能的减少 与场源和 均有关 电场付出能量，能量减少 0 0 AP Q WP Q ， q0  = = =  Q P PQ PQ PQ U E dl q A q W 0 0 ◼ P、Q两点之间的电势差定义为 ◼ 从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 ◼ 单位正电荷的电势能差

空间某点的电势值 ■为了确定某点的值,还需要选择零点 ■一般选择无穷远为势能零点P点电势值为 U()==2=」JE 两点之间电势差可表为两点电势值之差 PO =E·d=E·d+E·dl=U(P)-U(Q P 单位:1V(伏特)=1J/C 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 空间某点的电势值 ◼ 为了确定某点的值，还需要选择零点 ◼ 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为    = = =  P P P E dl q A U p U 0 ( ) ◼ 两点之间电势差可表为两点电势值之差 U E dl E dl E dl U(P) U(Q) Q P Q P PQ =  =  +  = −      ◼ 单位：1V(伏特）＝1J/C