北京大学：《电磁学》课程教学资源（PPT课件）第二章 恒磁场（2.4）磁高斯定理 磁矢势

磁场的“高斯定理”磁矢势 ■磁通量 任意磁场,磁通量定义为 B B·dS ■磁感应线的特点: ■环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远 =手BdS=0=磁高斯定理无源场 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 磁场的“高斯定理” 磁矢势 ◼ 磁通量 ◼ 任意磁场，磁通量定义为   =  S B B d S ◼磁感应线的特点： ◼环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远  =  = 0  S B B d S 磁高斯定理 无源场

磁高斯定理 通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于零 ■证明 单个电流元的磁感应线:以d方向为轴线的 系列同心圆,圆周上B处处相等; Q d B b- uo dIsin e 4T r2 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 磁高斯定理 ◼ 通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等 于零 ◼ 证明： ◼ 单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一 系列同心圆，圆周上B 处处相等； 2 0 sin 4 r Idl dB    =

考察任一磁感应管(正截面为), 取任意闭合曲面S,磁感应管 穿入S次,穿出一次。 dB ds, cos 0,=ds cos0=dS ,=dBi,- lo ldlsin 0 uo basin e COS 4丌 4丌 sin ca=dB2·dS2 ds cos 0= S 4丌 4丌 c如n+ B B2=0 结论:任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面S，磁感应管 穿入S一次，穿出一次。 −dS1 cos1 = dS2 cos2 = dS dS r Idl dS r Idl d B dB dS 2 0 2 1 1 0 1 1 sin 4 cos sin 4 1         =  = = − dS r Idl dS r Idl d dB d S B 2 0 2 2 2 0 2 2 sin 4 cos sin 4 2         =  = = 0 1 2 dB = dB + dB = ◼结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零

推广到任意载流回路的磁场 个电流元产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成 有的穿入又穿出,有上述结论 有的没穿过S,磁通量为零 任意载流回路由许多电流元串联而 成,由叠加原理得 ■结论:通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零。 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 推广到任意载流回路的磁场 ◼ 一个电流元产生的磁场可看成由许多磁 感应管组成 ◼ 有的穿入又穿出，有上述结论 ◼ 有的没穿过S，磁通量为零 ◼ 任意载流回路——由许多电流元串联而 成，由叠加原理得 ◼ 结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零

磁高斯定理的微分形式 利用数学的高斯定理 Φn=中B·dS=0 S V·B1=0-V.B=0 ■说明恒磁场的散度为零无源场 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 磁高斯定理的微分形式 ◼ 利用数学的高斯定理  =  = 0  S B B d S  = 0  V BdV  B = 0 ◼说明恒磁场的散度为零——无源场

磁矢势 B·dS=0 V.B=0无源场 保守场一般 不引入标势 B.dl=A∑ L V×B=有旋场 ■然而磁场的主要特征:无源(无散) 磁高斯定理 ■其更根本的意义:使我们可能引入磁矢势 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 磁矢势 ◼ 然而磁场的主要特征：无源（无散）—— 磁高斯定理 ◼ 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势  = 0  S B d S   =  L L B dl I 内 0 无源场 有旋场 非保守场一般 不引入标势  B = 0 B = j

■磁高斯定理表明:对任意闭合面 S B·dS=B.dS B·dS=0 →Jd元s S 磁通量仅由 可能找到一个矢量A,它沿L 的共同边界线所决定 作线积分等于通过S的通量 Aal=1B·ds(a) L 数学上可以证明,这样的矢量4的确存在, 对于磁感应强度B,A叫儆磁矢势,A在空间 的分布也构成矢量场,简称矢势 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 ◼ 磁高斯定理表明：对任意闭合面 0 1 2  =  −  =    S S S B dS B dS B dS     =  S1 S2 B dS B dS 磁通量仅由 的共同边界线所决定 可能找到一个矢量A，它沿L 作线积分等于通过S的通量 d d (a) L S   A l = B S ◼数学上可以证明，这样的矢量A的确存在， 对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间 的分布也构成矢量场，简称矢势

根据矢量分析 对任意矢量A有V(V×A)=0B=V×A ■矢势的特点 其实标势也不唯 满足B=V×不唯 ,零点可选 如:对于任意标量场φ的梯度Vq,有VxVq=0 V×(A+Vg)=V×A+V×V×=VxA=B 描述同一个磁感应强度B规范变换=A+V 类似于电势零点可以任取,规范也可任意选取 通常选库仑规范:VA=0 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 根据矢量分析 ◼ 对任意矢量A有 ( A) = 0 B =  A ◼矢势的特点 满足B =  A的A不唯一 其实标势也不唯 一，零点可选 ◼如：对于任意标量场的梯度，有   = 0   (A + ) =   A +     =   A = B 描述同一个磁感应强度B 规范变换：A' = A+ ◼类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 ◼通常选库仑规范: A=0

找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式 雪两种办法 普通物理 利用对称性由4Ad=B:dS得出的方法 由B=VxA和V·A=0→A的表达式电动力学的做法 电流元的磁矢势 112式(2.55) ■任意闭合回路的磁矢势式(2.56) ■例题9 ■例题10 ■例题11 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式 ◼ 电流元的磁矢势 p112式（2.55) ◼ 任意闭合回路的磁矢势 式（2.56) ◼ 例题9 ◼ 例题10 ◼ 例题11 利用对称性由   =   得 出 L S A dl B dS ◼两种办法 由B =  A和 A = 0 A的表达式 电动力学的做法 普通物理 的方法

取闭合环路L dp 4配 电流元的磁矢势 ■设磁矢势与电流元平行 (因为对矢势变换规范可 dl 以任选,选库仑规范VA=0 以电流元为轴,取柱坐 的结果)—a只有分量 标(p、φ、z) fadl=a d+a d+fa- d+a dl=Sa d=,()dl L b 只有这一段 L⊥a,L⊥a,L4> 积分有贡献 a dl=a, ( p)dl=B 2005.3 北京大学物理学院王稼军编

2005.3 北京大学物理学院王稼军编 电流元的磁矢势 ◼ 设磁矢势a与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范A=0 的结果）——a只有z分量 以电流元为轴,取柱坐 标（、、z ) 取闭合环路L d d d d d d p dl L La Lb LC Ld Lb ( ) az a  l = a  l + a  l + a  l + a  l = a  l =       La ⊥ a,Lc ⊥ a,Ld →  只有这一段 积分有贡献    = =  L S a dl a p dl B dl z ( ) ？