北京大学：《电磁学》课程教学资源（PPT课件）第一章 静电场（1.6）静电场的唯一性定理

静电场边值问题的 Q+q 唯一性定理 9 静电场小结 ■典型的静电问题 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置(统称边界条件),求空间 电场分布,即在一定边界条件下求解 泛定方程 VU P→泊松方程 静电场 +边界条件的边值 OV2U=0→>拉普拉斯方程 问题 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 静电场边值问题的 唯一性定理 ◼ 静电场小结 ◼ 典型的静电问题 ◼ 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解 拉普拉斯方程 泊松方程,  →  = − → 0 2 0 2 or U＝ U   静电场 的边值 问题 泛 定 方 程 ＋边界条件

唯一性定理 ■对于静电场,给定一组边界条件,空间能否 存在不同的恒定电场分布?—回答:否! 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 理论证明在电动力学中给出,p59给出普物 方式的论证 ■论证分三步:引理—叠加原理—证明 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 唯一性定理 ◼ 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ ◼ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 ◼ 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 ◼ 理论证明在电动力学中给出，p59 给出普物 方式的论证 ◼ 论证分三步：引理——叠加原理——证明

极大」 P 几个引理 极小 引理一:在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 证明(反证)若有极大,则 E2>0恒甲螺斗 △翡回brE=△n晶b 若有极小,同样证明 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 几个引理 ◼ 引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 ◼ 证明（反证）若有极大，则 极大 但面内无电荷 矛 盾 指 向 点 , 背 离 点 =   0, ，  = −  S E Φ d U P U P E S E 极小 ◼若有极小，同样证明

■引理二:若所有导体的电势即意味着空间 为0,则导体以外空间的电 电势有极大值, 违背引理 势处处为0 证明(反证 荐>0 在无电荷空间里电势分布连续 变化,若空间有电势大于0 (或小于0)的点,而边界上 电势又处处等于零—必出现 极大值或极小值—矛盾 2 推广:若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等(设为U),则空间电势等于 常量U 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 ◼ 引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0 即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一 ◼证明（反证） 在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾 ◼推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0

引理三:若所有导体都不带电, 则各导体的电势都相等 证明(反证) 若不相等,必有一个最高, 如图设U1>U2、U3,—导 体1是电场线的起点—其 表面只有正电荷—导体1 上的总电量不为0与前 提矛盾 ■引理二(+)引理三可推论:所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样,等于同一常 量 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等 ◼ 证明（反证） ◼ 若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾 ◼引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量

叠加原理 ■在给定各带电导体的几何形状、相对位置后,赋予 两组边界条件: 1:给定每个导体的电势U/k(或总电量QrA 2:给定每个导体的电势U/m(或总电量Qn) ■设Ur、Un满足上述两条件,则它们的线性组合 UaUr+bUn必满足条件3: 3:给定每个导体的电势 Uk=aUT+bUmk (或总电量Qk= OIk ak+bQmk 恃例:取U1k=Umk,则U=r-Um(a=,b=1)满足 4:给定每个导体的电势为0 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 叠加原理 ◼ 在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件： ◼ 1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） ◼ 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk ) ◼ 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0

唯一性定理 相当于所有导 ■给定每个导体电势的情形 体上电势为O时 ■设对应同一组边值U(k=12的恒定电势分 布 有两种恒定的电势分布U和Un UI-Un U=O U E U=UI 每一个导体上电势是给定的 由引理2 →E,=E 说明场分布是唯一的 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 唯一性定理 ◼ 给定每个导体电势的情形 ◼ 设对应同一组边值 I II I II E E U U  = = U (k =1,2) k 有两种恒定的电势分布 UI 和UII 相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布 说明场分布是唯一的

电量与场 给定每个导体上总电量的情形强、电势 第个导体上的电量 的关系 设对 aU 应同Q=8=5EdS=6030n 一组 边值 有两 与电势参 种恒 g 考点有关, 定电 不影响电 势分 相当于所有导 U=UUI 势梯度 布 体都不带电 S=0→U=U1-Un=常量→E1=E an 说明场分布是唯一的 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 I II I II S dS U U U E E n U k =  = − =  =   − 0  0 常 量 与电势参 考点有关， 不影响电 势梯度 ◼给定每个导体上总电量的情形 ◼ 第k个导体上的电量 dS n U Q dS E dS Sk Sk Sk k  e  n    = = 0 = − 0    电量与场 强、电势 的关系 设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布 说明场分布是唯一的

解释静电屏蔽 唯一性定理表明:一且找到某种电荷分布,既不 违背导体平衡特性,又是物理实在,则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。 E=0 ■图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 解释静电屏蔽 ◼ 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。 ◼ 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布

电像法解静电问题的一种特殊方法 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 ■基本思想:利用唯一性定理,边界条件确定了, 解是唯一的,可以寻找合理的试探解 像电荷 2005.2 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2 北京大学物理学院王稼军编写 电像法——解静电问题的一种特殊方法 ◼ 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 ◼ 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解 像电荷