北京大学：《电磁学》课程教学资源（PPT课件）第二章 恒磁场（2.3）安培环路定理

安培环路定理 ■载流线圈与磁偶极层的等价性 ■安培环路定理的表述和证明 ■磁感应强度是轴矢量 ■安培环路定理应用举例 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 安培环路定理 ◼载流线圈与磁偶极层的等价性 ◼安培环路定理的表述和证明 ◼磁感应强度是轴矢量 ◼安培环路定理应用举例

载流线圈与磁偶极层的等价性 证明闭合载流线圈产生的磁 场正比于线圈回路对场点所 张的立体角的梯度「L在P点产生 的磁感应强度 B() 1×r12 4T 2 (L1) 相当于P不动线 圈作-L2位移 B(2)·l2 prd2(l×2)_Al(-al2×),2 4兀(L) 4丌 (L1) 运用4(B×C)=(4xB)C 设想P有 小位移L2 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 载流线圈与磁偶极层的等价性 ◼ 证明闭合载流线圈产生的磁 场正比于线圈回路对场点所 张的立体角的梯度   = ( ) 2 12 0 1 12 2 1 ˆ 4 ( ) L I d r l r B r   L1在P点产生 的磁感应强度 设想P有一 小位移dL2 相当于P不动线 圈作-dL2位移   −   =   −  = − ( ) 2 1 2 0 2 1 1 2 ( ) 2 1 2 0 2 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ˆ 4 ( ˆ ) 4 ( ) L L I d d I d d d r l l r r l l r B r l     运用A(BC) = (AB)C

,×a 2 灰色面 B(r2)dL2=M比) 2元所对 1立体角 4兀 整个线圈在位移 (L1) dL2扫过的环带 do=-4兀 ∑对场点p所张 O 4兀 的立体角 (L1) 0 P 也可理解为场点 P作平移L2引 起立体角变化 Q:曲面s 对P点所 g:曲面S对9-9+O=0,→=9-9 张立体角 P点所张立 体角 可看成是场点坐标r2的函数 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写           4 4 ( ) ˆ 4 ( ) ˆ 4 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 2 2 1 0 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 1 1 2 2 2 1 1 1 I d I I d d I d d d L L L = − = − −   = − −   −  =    r l l r r l l r B r l 2 21 21 2 12 12 ˆ ˆ r r r r = − 整个线圈在位移 -dL2扫过的环带 对场点p所张 的立体角 灰色面 元所对 立体角 :曲面S 对P点所 张立体角 ‘:曲面S’对 P点所张立 体角  −'+ = 0, = '− 也可理解为场点 P作平移dL2引 起立体角变化 可看成是场点坐标r2的函数

坐标r2的函数 泰勒展开 2≈g+ⅦlV_代入前式 B(2)d2=-1 o-dl,. VQ2> B=/ V 4丌 4丌 反映了载流线圈与磁偶极子是等价的 两个讨论磁化的模型是等价的 ■在下面证明安培环路定理时直接引用 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 ◼ 反映了载流线圈与磁偶极子是等价的 ◼ 两个讨论磁化的模型是等价的 ◼ 在下面证明安培环路定理时直接引用 '  + dl 2  ⎯代入前式 ⎯ ⎯→ 坐标r2的函数 泰勒展开 −  = − 2  0 2 2 4 B(r ) l dl I d   =    4 0 I B

安培环路定理表述和证明 表述: 磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分,等于 穿过这环路所有电流强度的代数和的山倍 B·dl ∑ L内 ∑ Ⅰ=l,-2l 内 2 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 安培环路定理表述和证明 ◼ 表述： ◼ 磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于 穿过这环路所有电流强度的代数和的0倍   =  L L B dl I 内 0  = − L内 I I I 1 2 2

证明 L与载流回路套连 P ■从毕奥一萨筏尔定律出发 先考虑单回路 L穿过S时B是连 L==L+L 再推广 续且有限的, 载流回路为 B·a=B·a+|B.a 边界的曲面S (L) 从上到下 B V 2 B·al 4丌 V2·aL 从下到上 4丌 曲面两侧两点无限趋近曲 2(2-92)4x=A6面时,立体角趙近于4z 4丌 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 证明 ◼ 从毕奥—萨筏尔定律出发 ◼ 先考虑单回路 ◼ 再推广 载流回路为 边界的曲面S L与载流回路套连 2 2 1 1 1 2 L P P L P P ⎯⎯ ⎯→ ⎯⎯ ⎯→ 从下到上 从上到下 ： ：     =  +  1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) P L L p P L p B dl B dl B dl I I I d I d P L p P L p 0 0 2 1 0 ( ) 0 ( ) 4 4 ( ) 4 4 2 1 1 2 1 1         =  − = =  =    B l l =    4 0 I B 曲面两侧两点无限趋近曲 面时，立体角趋近于4 L2穿过S时B是连 续且有限的， ——0

B·d=B.d+|B·a=l (L1) 如果,安培环路与载流回路 不套连,则环绕它一周立体 角回到原值,积分为0 L=L+L2 运用叠加原理,推广到多个 载流回路 空间所有电流 穿过闭合环 产生的磁感应 ∮B:d=A∑ 路的电流 强度矢量和 L内 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 d d d I P L L p P L p 0 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1  =  +  =     B l B l B l ◼ 如果，安培环路与载流回路 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值，积分为 0 ◼运用叠加原理，推广到多个 载流回路   =  L L B dl I 内 0 穿过闭合环 路的电流 空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和

安培环路定理的微分形式 ■利用斯托克斯定理 于Bdl=∑ L L内 V×B=10J ∫(×B)dS=yds 微分形式 ■说明B的旋度不为零有旋场 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 安培环路定理的微分形式 ◼ 利用斯托克斯定理   =  L L B dl I 内 0     =  S S ( B) d S 0 j d S B j  = 0 微分形式 ◼说明B的旋度不为零——有旋场

磁感应强度是轴矢量 镜像对称 镜像反射的变化规律 ■极矢量:与镜面平行分量不变,垂直分量反向 d、r、v、FE、P ■轴矢量:与镜面垂直分量不变,平行分量反向 两个极矢量叉乘=轴矢量 ■由毕奥一萨筏尔定律决定a× B是轴矢量 推论:镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 磁感应强度是轴矢量 ◼ 镜像反射的变化规律 ◼ 极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向 • dl 、r、v、F、E 、P ◼ 轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向 ◼ 两个极矢量叉乘＝轴矢量 ◼ 由毕奥－萨筏尔定律决定 ◼ B是轴矢量 ◼推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜 dl r   

安培环路定理应用举例 ■无限长圆柱形载流导体磁场 ■载流长直螺线管内的磁场 ■载流螺绕环的磁场 ■习题p1442-17、19、20 2005.3 北京大学物理学院王稼军编写

2005.3 北京大学物理学院王稼军编写 安培环路定理应用举例 ◼ 无限长圆柱形载流导体磁场 ◼ 载流长直螺线管内的磁场 ◼ 载流螺绕环的磁场 ◼ 习题 p144 2－17、19、20