中南大学：《应用统计》PPT电子教案_点估计方法

参数点估计 参数点估计是对参数取哪一个值作出估计 定义:设总体的分布已知,但其中含有未知参数 (可以是一个向量),点估计就是依据某种原 理,根据样本来构造统计量T(可以是一个向 量)作为的估计量,记为 6=7(X1,X2,,Xn)

• 参数点估计 参数点估计是对参数取哪一个值作出估计． 定义：设总体的分布已知，但其中含有未知参数 （可以是一个向量），点估计就是依据某种原 理，根据样本来构造统计量 （可以是一个向 量）作为 的估计量，记为  T  1 2 ˆ ( , , , )  =T X X X n

当样本取定一个观察值时,估计量也有一个值, 这个值称为估计值,不同的抽样,有不同的估 计值,它与真值会有差异,这种差异除了抽样 带来的误差外,与估计量的形式有关.因此, 选取统计量也是非常重要的.我们介绍两种统 计量的方法:矩法与极大似然法

• 当样本取定一个观察值时，估计量也有一个值， 这个值称为估计值，不同的抽样，有不同的估 计值，它与真值会有差异，这种差异除了抽样 带来的误差外，与估计量的形式有关．因此， 选取统计量也是非常重要的．我们介绍两种统 计量的方法：矩法与极大似然法

矩法估计 假设样本为简单随机样本,则 X1,X2…,X独立同分布,且与总体X的分布相同 由大数定律,有 I7Xk=E(X k

• 矩法估计 假设样本为简单随机样本，则 由大数定律，有 1 2 , , , k k k k X X X X n 独立同分布,且与总体 的分布相同 1 1 lim ( ) n k k i n i X E X →  n =  =

其中 ∑X为样本阶原点矩 E(x)为总体阶原点矩 当n比较大时 X≈E(X)

• 其中 当n比较大时 1 1 n k i i X k n =  为样本 阶原点矩 ( ) k E X k 为总体 阶原点矩 1 1 ( ) n k k i i X E X n =  

利用这种近似相等关系的思想,得到矩法估计 的定义 定义:用样本原点矩去代替总体相应的原点矩得 到的参数的估计量的方法称为矩法,称这种估 计为矩法估计量

• 利用这种近似相等关系的思想，得到矩法估计 的定义． 定义：用样本原点矩去代替总体相应的原点矩得 到的参数的估计量的方法称为矩法，称这种估 计为矩法估计量．

例设总体X~U(a2b),其中ab为未知参数, 现从中抽取一个样本观察值(2,3,2,4,3)试用 矩法估计a,b的值 解:

• 例 设总体 ，其中a,b为未知参数， 现从中抽取一个样本观察值（２,3,2,4,3),试用 矩法估计a,b的值． 解： X U a b ~ ( , )

先求估计量,由矩法得方程组 X=∑X=B(X A2=∑X=E(X 由于 E(Ⅹ)=a+b a'tabtb E(X2)

• 先求估计量，由矩法得方程组 由于 1 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) n i i n i i X X E X n A X E X n = =  = =     = =    2 2 2 ( ) , ( ) 2 3 a b a ab b E X E X + + + = =

注意到 B=A-X 解得: a=x-3B b=X+√3B2

• 注意到 解得： 2 B A X 2 2 = − 2 2 ˆ 3 ˆ 3 a X B b X B  = −   = + 

我们计算得到 x=28,b2=0.56 这样得到a,b的估计值是 a=1.5 b=4.1

• 我们计算得到 这样得到a,b的估计值是 2 x b = = 2.8, 0.56 ˆ 1.5 ˆ 4.1 a b  =   =

例设总体X的分布密度为 f(; 0)=exp( 26 其中日为未知参数,现从中抽取一个样本,试 求O的矩法估计量 解:

• 例 设总体Ｘ的分布密度为 其中 为未知参数，现从中抽取一个样本，试 求 的矩法估计量． 解： 1 | | ( ; ) exp( ) 2 x f x    = −  