北方工业大学：《线性代数》PPT教学课件 n维向量的基本概念

第一节n维向量的基本概念 w吧w吧w吧行吧吧好产

第一节 n维向量的基本概念

一、n维向量 1.定义 n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数 组称为n维向量,这n个数称为该向量的个分量, 第个数a称为第个分量 分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为复数的向量称为复向量

. , , , 1 2 第 个 数 称为第 个分量 组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量， 个有次序的数 所组成的数 i a i n n n n a a a i  n 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. 一、n 维向量 1.定义

例如 (1,2,32…) n维实向量 (1+2i,2+3i,…,+(n+1)i) n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量

例如 (1,2,3,  ,n) (1 + 2i,2 + 3i,  ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量

n维向量的实际意义 确定飞机的状态,需 要以下6个参数: 机身的仰角 9(-25s个 机翼的转角 y(-7<v≤) 机身的水平转角0(0≤0<2n) 飞机重心在空间的位置参数P(x2y;z) 所以,确定飞机的状态,需用6维向量 a=(x,y,z,g,y,6)

确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角  (0    2 ) 机身的仰角 ) 2 2 (     −   机翼的转角  (−    ) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a = (x, y,z,, , ) n 维向量的实际意义

2.n维向量的表示方法 n维向量写成一行,称为行向量,通常用 a,b, a, B 等表示,如:a=(a1,a2,…,an) n维向量写成一列,称为列向量,通常用 b, a, B 等表示,如: n

( , , , ) 1 2 n T a = a a  a               = an a a a  2 1 维向量写成一行，称为行向量，通常用   T T T T a ,b , , n 维向量写成一列，称为列向量，通常用 等表示，如： a,b,, n 等表示，如： 2. n维向量的表示方法

3向量的相等 a=(ai, a2, .an)B=(bi,b2, . bn) a=B当且仅当 a2=b,i=1,2,…,n(要求维数相等) 4.零向量 分量都是零的向量0=(0,0,…,0) 注意维数,不能说零向量都相等

3.向量的相等 4. 零向量 分量都是零的向量 0=（0，0，…，0） 注意维数，不能说零向量都相等。 ( , , )  = a1 a2 an ( , , )  = b1 b2 bn  =  当且仅当 ai = bi ,i =1,2,  ,n （要求维数相等）

5.负向量 如果Cx=((12C2,…n),称 a=(-a1,-a2,…-an)为c的负向量, 显然-(-a)=a,所以负向量是相互关系。 二、向量的线性运算 1.加法 若C=(a12a2,…an),B=(1,h2…bn) 称y=(a1+b12a2+b2,…an+bn)为a与和 记为y=a+B

5. 负向量 ( , , )  = a1 a2 an ,称 ( , , ) 1 2 n − = −a −a − a 为  的负向量， 显然 −（−）= ，所以负向量是相互关系。 如果 二、向量的线性运算 1. 加法 , , ), ( , , )  =（a1 a2 an  = b1 b2 bn       = + = + + + 记为 称 (a1 b1 ,a2 b2 ,,an bn )为 与 的和 若

2减法 减法用加法定义,如果 C=( an),B=(h1,b2,…bn) 定义y=a-B=a+(-B),称为a与的的差, 当然a-B=(a1-b12a2-b2…an-bn) 3数乘 设a=(a12a2…an)定义a=(a1,a2…lan) 为花与的数乘,其中是一个数

2.减法 减法用加法定义，如果 , , ), ( , , )  =（a1 a2 an  = b1 b2 bn , , , ) − = a1 −b1 a2 −b2 an −bn = − = + − 当然 （  定义 （ ），称为 与 的差，          3.数乘 设 为 与 的数乘，其中 是一个数。 定义 （     ( , , ),   , ,  ) = a1 a2 an = a1 a2  an

注:1.加法与数乘运算称为线性运算 2.线性运算满足8条 ①+B=B+a ②(a+B)+y=a+(+y) ③a+0=a ④a+(-a)=0 a=a ⑥(0)=(4)a=(a) ⑦A(+B)=a+AB ⑧(+p)O=A+p

注：1. 加法与数乘运算称为线性运算 2. 线性运算满足8条 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧  +  =  + ( + ) + = + ( + )  +0 =  + (−) = 0 1 = () = () = () ( + ) =  +  ( + ) =  + 

3.还有一些常用的结论 ①(-1)=-a ②若a=0,则一定有=0或a=0 c-0=a,0-c=-2a-B=-(6-a) a=B当且仅当a-B=0,a-a=0

3. 还有一些常用的结论 ① ② ③ (−1) = − 若 = 0，则一定有 = 0或 = 0 0 0 0 ,0 , ( ) = − = − = − = − = − − = − −               当且仅当