北方工业大学：《线性代数》PPT教学课件 用配方法化二次型为标准型

第节用配方法化二次型为标准型

、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变. 问题有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形? 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法

一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．

拉格朗日配方法的步骤 1.若二次型含有x的平方项,则先把含有 x的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项,但是a≠0 (≠j则先作可逆线性变换 Vi"y x=y+y;(k=1,2,…,n且k≠i,j 化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方

1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi      = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2,  ,n且k  i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij  0 (i  j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方

例1化二次型 f=x+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3 为标准形,并求所用的变换矩阵 解 含有平方项<有x的项配方 ∫=区2x2+5x+2与千x+6x2 2 +2x1x7+2x1x2+2x2+5x2+6x,x =(x+x2+x)2去掉配方后多出来的项 x2-x3-2xx+2x2+5x3+6x2X

解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项

=(x+x2+x1)+x2+4x2+4x2x3 =(x+x2+x3)+(x2+2x) =x+x2+x1与=n2-2 x1=y1-y2+y3 令{y2=x2+2x y3 3 1-11 今|x 2 01-2 001 y3

( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x      = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令      = = − = − +  3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y                     − − =            3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x

f=x2+2x2+5x3+2xx2+2x1x3+6x2x3 所用变换矩阵为 1-11 C=|01-2(c-=1≠0 001

1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2  f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 =            − − C = C

例2化二次型 f=2x1x2+2x1x3-6.x2x3 成标准形,并求所用的变换矩阵 解由于所给二次型中无平方项,所以 1=y1+y2 x1 yI 令 2=y1-y2 2 1-10‖y 2 x3)(001八y 代入∫=2x1x2+2x1x3-6x2x3, 得f=2y2-2y2-4y;y3+82y3

, 3 3 2 1 2 1 1 2      = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以                               = −           y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即

再配方,得 ∫=2(v1-y3)-2(v2-2Jy3)2+6y3 1=y1-y 令{2=2-2y3 33=y y1=1+x3 101 Z1 →12=2+23,即2|=012|z2 y3=3 y3(001人z3 得f=2x2-2x2+63

再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3      = = + = +  y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z                               =           z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即

所用变换矩阵为 110101 C= =1-10012 00100 113 =1-1-1(C=-2≠0) 001

所用变换矩阵为                     = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3           = − − (C = −2  0)

得标准形 f z1-2-3 所用可逆线性变换为 x1=21-22-z3 x2=孔1+z2-3 x3=3

, 2 3 2 2 2 f = z1 − z − z 得标准形      = = + − = − − . , , 3 3 2 1 2 3 1 1 2 3 x z x z z z x z z z 所用可逆线性变换为