中南大学：《应用统计》PPT电子教案_应用数学专题讲座

第八章 时间序列分析

第八章 时间序列分析

随机过程的概念 在概率论的基本理论中,我们首先建立了概率空间, 进一步定义了随机变量和它的分布函数,用以刻划随机现 象的统计规律性。在那里,我们讨论的是一个或者几个随 机变量。但在实际中,我们还需要讨论一族无穷多个按照 定关系联系起来的随机变量。例如,考虑电话交换台接 到用戶的呼唤次数的问题。如果用 衰乐在时刻以前 交换台接到用户的呼唤总次数,于是,对于固定资产的时 刻而言,”是个随机变量。而当长时间观察并记录可 得 构成的时间函数。就是说,描述交换台接到用户的呼唤 次数,需要用一族依赖于时间的随机变量。通常我们把这 样的一族随机变量称为随机过程

随机过程的概念 在概率论的基本理论中，我们首先建立了概率空间， 进一步定义了随机变量和它的分布函数，用以刻划随机现 象的统计规律性。在那里，我们讨论的是一个或者几个随 机变量。但在实际中，我们还需要讨论一族无穷多个按照 一定关系联系起来的随机变量。例如，考虑电话交换台接 到用户的呼唤次数的问题。如果用 表示在时刻t以前 交换台接到用户的呼唤总次数，于是，对于固定资产的时 刻t而言， 是一个随机变量。而当长时间观察并记录可 得 ，它就是一族无穷多个随机变量 构成的时间函数。也就是说，描述交换台接到用户的呼唤 次数，需要用一族依赖于时间的随机变量。通常我们把这 样的一族随机变量称为随机过程。 X (t) X (t) { ( ), ( ), } X t 1 X t 2 

定义1设2F,P是一个概率空间,T是一个参数 集,X1(O)∈T,Q∈T×Ω的函数,如果 对于每一个t∈T{x,(m)t∈都是(g,F) 的随机变量,则称随机变量族(O(O∈定 义在(g2,F,丑的随机过程。简记为{X();t∈T}

定义1 设 是一个概率空间，T是一个参数 集， 是 上的函数，如果 对于每一个 ， 都是 上 的随机变量，则称随机变量族 为定 义在 上的随机过程。简记为 (, F, P) X ()(t T, ) t T  t T ()( ) Xt (, F, P) {X ( ) : t T} t   (, F, P) {X (t);t T}

随机过程的有限维分布函数族 研究随机现象,主要是研究亡的统计规律性。对于 随机过程,如何刻划它的统计规律性呢?在概率论 中我们已经知道,一个随机变量的统计规律性完全 由它的分布函数所刻划,有限个随机变量的统计规 律性完全被它们的联合分布函数所刻划。既然随机 过程可视为一族随机变量,是否也可以用一个无穷 多维的联合分布函数来刻划它呢?由测度论的理论 可知,使用无穷维分布函数的方法是行不通的。可 行的办法,就是采用有限维分布函数族来刻划随机 过程的统计特性

随机过程的有限维分布函数族 研究随机现象，主要是研究它的统计规律性。对于 随机过程，如何刻划它的统计规律性呢？在概率论 中我们已经知道，一个随机变量的统计规律性完全 由它的分布函数所刻划，有限个随机变量的统计规 律性完全被它们的联合分布函数所刻划。既然随机 过程可视为一族随机变量，是否也可以用一个无穷 多维的联合分布函数来刻划它呢？由测度论的理论 可知，使用无穷维分布函数的方法是行不通的。可 行的办法，就是采用有限维分布函数族来刻划随机 过程的统计特性

定义2设随机过程的状态空间为R,对于任意自然 数n以及任意参数t1,t2,…,tn∈T”,n个随机变 量X(t1)X(t2)2…,X(Ln)的联合分布函数为 F(1,t2…tn2x12x2…,xn)=P{Y(t1)<x,X(t2)<x2…;X(tn)<xn} 所有这些分布函数的集合 15125n51M2 xn)1,t2,…,tn∈T,n21 称为随机过程的有限维分布函数族

定义2 设随机过程的状态空间为R，对于任意自然 数n以及任意参数 ，n个随机变 量 的联合分布函数为 所有这些分布函数的集合 称为随机过程的有限维分布函数族。 t 1 ,t 2 ,  ,t n T ( ), ( ), , ( ) 1 2 n X t X t  X t ( , , , ; , , , ) { ( ) , ( ) , , ( ) } 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n F t t  t x x  x = P X t  x X t  x  X t  x { ( , , , ; , , , ); , , , , 1} F t 1 t 2  t n x1 x2  xn t 1 t 2  t n T n 

例1利用重复抛硬币的试验定义一个随机过程 X(-cosm出现正面 2t出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5, 试求它的一维分布的;x) ,和二维分布函 数0.5,1,x1,x2

例1 利用重复抛硬币的试验定义一个随机过程 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5， 试求它的一维分布函数 ，和二维分布函 数族。    = 出现反面 出现正面 t t X t 2 cos ( )  F(0.5; x) (0.5,1; , ) 1 2 F x x

随机过程的数字特征 定义3设{X(t);t∈T}是一随机过程,对任意固定 的,随机变量()的数学期望和方差都存在,我们 分别称 mx(t)=ex(t) Dx(t)=dX(t 为随机过程的均值函数和方差函数

随机过程的数字特征 定义3 设 是一随机过程，对任意固定 的t，随机变量X(t)的数学期望和方差都存在,我们 分别称 为随机过程的均值函数和方差函数 {X (t);t T} D (t) DX(t) X = m (t) EX(t) X =

例2求例1中的随机过程的均值函数与方差函数

例2 求例1中的随机过程的均值函数与方差函数

定义4设{X()t∈T}是一随机过程,对任意固定 的t和t2,随机变量ⅹ(4),X(42)的二阶原点矩和协方 差都存在,我们分别称 R(t,t2)=ElX(tuX(t2) Cx(tu, t2)=co(X(t),x(t2) 为随机过程的(自)相关函数和(自)协方差函数

定义4 设 是一随机过程，对任意固定 的t1和t2，随机变量 的二阶原点矩和协方 差都存在 ,我们分别称 为随机过程的（自）相关函数和（自）协方差函数 {X (t);t T} ( ), ( ) 1 2 X t X t ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E X t X t X = ( , ) cov( ( ), ( )) 1 2 1 2 C t t X t X t X =

例3:求例1中的随机过程的相关函数和协方差函数

例3:求例1中的随机过程的相关函数和协方差函数