中南大学：《应用统计》PPT电子教案_非参数假设检验

非参数假设检验单个总体的分布假设检验 两个总体是否服从同一分布、两个总体是否相 互独立等。下面我们分别介绍它们的检验方法。 分布偎设检验 参数的假设检验中,总体分布的类型是已 知的。然而在许多场合,并不知道总体分布的 类型,此时首先需要根据样本提供的信息,通 过概率论有关理论推导或有关专业知识、经验 等形成对总体Ⅹ的分布类型的猜想、看法,提 出假设。对这种假设的检验称为分布假设检验

• 非参数假设检验单个总体的分布假设检验、 两个总体是否服从同一分布、两个总体是否相 互独立等。下面我们分别介绍它们的检验方法。 1. 分布假设检验 参数的假设检验中，总体分布的类型是已 知的。然而在许多场合，并不知道总体分布的 类型，此时首先需要根据样本提供的信息，通 过概率论有关理论推导或有关专业知识、经验 等形成对总体X的分布类型的猜想、看法，提 出假设。对这种假设的检验称为分布假设检验

(1)单个分布的假设检验 设总体X的分布函数为F(x),我们对总体的分布 作如下假设: Ho: F(x=Fo(x); H: F(x)* Fo(x 其中,F0(x)为一个完全已知为分布函数,它不 含任何的未知参数 假设检验的重要步骤是要构造一个检验统计 量。采用不同的统计量,就形成不同的统计检 验方法。关于分布的假设检验常用的有皮尔逊 ( K. Pearson)x2—检验法和柯尔莫哥洛夫 ( Kolmogorov)检验法。我们仅介绍皮尔逊 检验法

(1)单个分布的假设检验 设总体X的分布函数为 ，我们对总体的分布 作如下假设： 其中， 为一个完全已知为分布函数，它不 含任何的未知参数 . 假设检验的重要步骤是要构造一个检验统计 量。采用不同的统计量，就形成不同的统计检 验方法。关于分布的假设检验常用的有皮尔逊 （K.Pearson） —检验法和柯尔莫哥洛夫 （Kolmogorov）检验法。我们仅介绍皮尔逊— 检验法 F(x) 0 0 1 0 H F x F x H F x F x : ( ) ( ); : ( ) ( ) =  0 F x( ) 2 

K. Pearson检验法是运用频率接近概率这一思 想.其方法是 将样本数据分为m个组:△1,△2,…,△n 如果H0成立,按分布F(x)算得样本落入△ 的概率p,从而理论上样本落入Δ的频数为 m,而实际样本落入△的个数为n,因此如 果H成立,P与n,差别不应太大或者说 不应太大,如果太大,就应拒绝H因此拒绝域 为W={x2>c}形式

• K.Pearson检验法是运用频率接近概率这一思 想．其方法是 将样本数据分为m个组： 1 2 , , ,    m 0 0 2 2 1 2 ( ) , , , ( ) , { } j j j j j m j j j j H x p np n H np n n np np W c   =    − = =   0 j j j 0 如果 成立,按分布F 算得样本落入 的概率 从而理论上样本落入 的频数为 而实际样本落入 的个数为 因此如 果 成立, 与 差别不应太大或者说 不应太大,如果太大,就应拒绝H 因此拒绝域 为 形式

如何确定c,需要知道x的分布 1900年皮尔逊( K. Pearson)证明了下面结论: 定理:当H成立时,不论F(x是什么样的分 布函数,当n充分大时,均有 近似 由此定理可得到的拒绝域为 W={x2>x2(m-1)}

• 如何确定c，需要知道 1900年皮尔逊（K.Pearson）证明了下面结论： 定理：当 成立时，不论 是什么样的分 布函数，当n充分大时，均有 由此定理可得到的拒绝域为 2  的分布 H0 ( ) 0 F x ~ ( 1) 2 2   m − 近似2 2 W m { ( 1)} =  −  

例胜从总体ⅹ中抽取容量为80的一个样本,其 频率分布如下表: 区间0.025(0250.5)05075)075,1) 频数 6 20 36 试问总体X的分布函数是否为 0: x≤0 F(x)={x2;01 取=0.05

• 例胜从总体X中抽取容量为80的一个样本，其 频率分布如下表： 试问总体X的分布函数是否为 取 区间 (0,0.25) (0.25,0.5) (0.5,0.75) (0.75,1) 频数 ６ １８ ２０ ３６          = 1; 1 ; 0 1 0; 0 ( ) 2 0 x x x x F x  = 0.05

解:对总体的分布作如下假设: Ho: F(x)=Fo(x; H: F(x)*Fo( H拒绝区域为W={x2>x2(m-1) 这里m=4,a=0.05,x03(3)=7815 按分布F(x)可算出 np1=5;1p2=15;13=25;11=35 从而得到x2=1.8286样本观测值未 落入拒绝域中,可认为X的分布为B(x)

解：对总体的分布作如下假设： 0 0 1 0 H F x F x H F x F x : ( ) ( ); : ( ) ( ) =  2 2 0 2 0.05 1 2 3 1 2 { ( 1)} (3) 7.815 ( ) 5; 15; 25; 35 1.8286. ( ) H W m x np np np np x      =  − = = = = = = 0 0 拒绝区域为 这里m=4, =0.05, 按分布F 可算出 从而得到 样本观测值未 落入拒绝域中,可认为X的分布为F

(2)分布族的假设检验 设总体X的分布函数为F(x),我们对总体的分布 作如下假设: H0:F(x)=F0(x;1,62,…,6) H1:F(x)≠F0(x;日1,62,…,日) 其中F中只含有未知参数日,B2,…,O由于F中 含有未知参数,按单个分布假设检验方法不能 计算出p,此时可先求出,O2…,O的估计,O2 ,O然后再计算p2不过拒绝域却变为 W={x2>x2(m-k-1)

(２) 分布族的假设检验 设总体X的分布函数为 ，我们对总体的分布 作如下假设： F(x) 0 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 2 2 : ( ) ( ; , , , ) : ( ) ( ; , , , ) , , , . ˆ ˆ . , , , , , ˆ , ; , { ( 1)} k k k j k k j H F x F x H F x F x F F p p W m k                   =  =  − − 其中 中只含有未知参数 由于 中 含有未知参数,按单个分布假设检验方法不能 计算出 此时可先求出 的估计 然后再计算 不过拒绝域却变为

·例:见P62例3.10

• 例:见Ｐ62例3.10

2两总体服从同一分布假设检验 设F(x),P2(x)分别为总体、Y的分布函数, (X2X2…Xn)为总体X的样本,(Y1,Y2,…Yn) 为总体Y的样本,并且这两个样本相互独立。作 检验假设 H:F1(x)=F2(x);H1:F1(x)≠F2(x) 我们介绍两种检验方法

2.两总体服从同一分布假设检验 设 分别为总体X、Y的分布函数， 为总体X的样本 ， 为总体Y的样本，并且这两个样本相互独立。作 检验假设 我们介绍两种检验方法。 1 2 F x F x ( ), ( ) ( , , ) X1 X2 X m ( , , ) Y1 Y2 Yn 0 1 2 1 1 2 H F x F x H F x F x : ( ) ( ); : ( ) ( ) = 

(1)符号检验法 这里要求Ⅹ、Y均为连续型随机变量m=n 记Z=X1-Y1,i=1 n表示{Z>0的个数;n表示{Z1<0的个数, 则n+n=n注意:对Z2=0的样本值将它从 样本中删除,容量n也相应地减少),如果两个 样本来自同一总体,第一个样本观测值应随机地 分散在第二个样本观测值之间,或者说n与n差 不多大小。如果令S=m(n-,n)对给定的显著 性水平拒绝域应为={S<Sa}形式。其中的数值 S可由符号检验表(附表5)査得

(1)符号检验法 这里要求X、Y均为连续型随机变量, 记 ； 样本中删除，容量n也相应地减少），如果两个 样本来自同一总体，第一个样本观测值应随机地 分散在第二个样本观测值之间，或者说 差 不多大小。如果令 对给定的显著 性水平,拒绝域应为 形式。其中的数值 可由符号检验表（附表５）查得． m = n , 1,2, , Z X Y i n i i i = − = { 0} ; { 0} . : 0 i i i n Z n Z n n n Z + − + −   + = = 表示 的个数 表示 的个数, 则 注意 对 的样本值将它从 n n + − 与 min( , ) S = n+ n− W S S { } =   S