西北工业大学：《概率论与数理统计》第一章 随机事件及其概率（1-2）事件的关系和运算

§12事件的关系和运算 事件的关系 包含和相等 包含:记为ACB,称为B包含A。表示A发生必然导致B发生。 ∈A→O∈B 如:E={2}cC={2,4,6}; 相等:记为A=B。表示ACB且BcA。 2.事件的和(并): 和:记为AUB,表示“A,B至少有一个发生”这一事件。 o∈A∪B→o∈A或O∈B; UA=A, U UA3 表示“A,A2,A……中至少有一个发生”这一事件。 3.事件的积(交) 积:记为AB或A∩B。表示“A,B同时发生”这一事件。 O∈AB→∈A且o∈B; 推广:∩A,=A∩A2∩…nA…=A42…,4n… 表示“A1,A2,……同时发生”这一事件 互斥(互不相容):记为A∩B=Φ,表示A,B不能同时发生 如:A={1,3,5}和C={2,4,6}互斥 规定:若A∩B=Φ,则A∪B记为A+B 4.事件的差、逆: 差:记为A-B,表示“A发生而B不发生”这一事件; 逆:记为A,A=Ω-A;表示“A不发生”这一事件

§1.2 事件的关系和运算 一．事件的关系 1．包含和相等： 包含：记为 A ⊂ B，称为 B 包含 A。表示 A 发生必然导致 B 发生。 ω∈A⇒ω∈B 如：E={2}⊂ C={2，4，6}； 相等：记为 A=B。表示 A ⊂ B 且 B⊂ A。 2．事件的和（并）： 和：记为 A ∪ B ，表示“ A，B 至少有一个发生”这一事件。 ω ∈ A ∪ B ⇒ ω ∈ A 或 ω ∈ B ； 推广：∪ ∪ ∪ ∪"" 1 2 3 1 A A A A i i = ∞ = 表示“ A1 ，A2 ，A3 ，……中至少有一个发生”这一事件。 3．事件的积（交）： 积：记为 AB 或 A ∩ B。表示“A，B 同时发生”这一事件。 ω ∈ AB ⇒ ω ∈ A且 ω ∈ B ； 推广： ∩ = … ∞ i=1 A i A1 ∩ A2 ∩ ∩ An"" = A1A2"An"。 表示“A1，A 2 ，……同时发生”这一事件。 互斥（互不相容）：记为 A ∩ B=Φ ，表示 A，B 不能同时发生。 如：A={1，3，5}和 C={2，4，6}互斥 规定：若 A ∩ B=Φ ，则 A ∪ B 记为 A+B。 4．事件的差、逆： 差：记为 A − B ，表示“ A 发生而 B 不发生”这一事件； 逆：记为 ， ___ A A = Ω − A ；表示“ A 不发生”这一事件

显然:A-B=AB; AUB=AB+ AB+AB A+A=QAA=① 若AcB,则AUB=B,AB=A。 事件的运算律 1.交换律 AUB=B∪AA∩B=B∩A; 2.结合律: AU(BUC)=(AUBUC A(BC)=(AB)C 3.分配律: A(BUC)=ABU AC: A(B-C)=(AB)-(AC): 4.对偶律: AUB=A∩B,A∩B=AUB 推广 例1.1.设A,B,C,D为四个事件 “A,B,C,D至少有一个发生”: AUBUCUD; “A,B,C,D同时发生”ABCD “A,B,C,D恰好发生一个”:ABCD+ABCD+ABCD+ABCD “A,B,发生而C,D不发生”:ABCD

显然： A − B = A B ； A ∪ B = AB + AB + AB ； A + A = Ω AA = Φ ； 若 A ⊂ B ，则 A∪ B = B ， AB = A 。 二． 事件的运算律 １．交换律： A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A; ２．结合律： A∪ (B ∪ C) =（A ∪ B）∪ C A(BC) = (AB)C ； ３．分配律： A(B ∪ C) = AB ∪ AC ； A(B − C) = (AB) − (AC) ； ４．对偶律： A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B ； 推广： ∪ n i Ai =1 =∩ n i Ai =1 ； ∩ n i Ai =1 =∪ n i Ai =1 ； 例 1.1．设 A，B，C，D为四个事件。 “ A，B，C，D至少有一个发生”： A ∪ B ∪ C ∪ D ； “ A，B，C，D同时发生”：ABCD； “ A，B，C，D恰好发生一个”： A B C D A B C D A B C D A B C D ； ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ + + + “ A，B，发生而C，D 不发生”： ___ ___ AB C D