《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块3 时域分析法 3.5 线性系统的稳定性分析

第三章时域分析3.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定性的基本概念3.5.2线性系统稳定的充要条件3.5.3赫尔维茨判据（了解）3.5.4劳斯判据稳定判据的应用3.5.5canad

3.5 线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的基本概念 3.5.2 线性系统稳定的充要条件 3.5.3 赫尔维茨判据 (了解) 3.5.4 劳斯判据 3.5.5 稳定判据的应用 第三章 时域分析

第三章时域分析3.5.1稳定性的基本概念实际中关于稳定性的实例很多，如：设计振荡器最关心振幅和频率的稳定性，适当选择电路结构和参数，使电源电压、负载和环境变化时都能得到几乎恒定的振幅和频率，才符合要求。再如：收音机若有自激，就会啸叫，无法收听。而电视机若不稳，无法看图像等等。可见：自控系统的稳定性十分重要。一个系统一旦受到外界或内部干扰，就偏离原来的平衡工作状态，且越来越远，扰动消失后

3.5.1 稳定性的基本概念 实际中关于稳定性的实例很多，如：设计振 荡器最关心振幅和频率的稳定性，适当选择电路 结构和参数，使电源电压、负载和环境变化时都 能得到几乎恒定的振幅和频率，才符合要求。再 如：收音机若有自激，就会啸叫，无法收听。而 电视机若不稳，无法看图像等等。 可见：自控系统的稳定性十分重要。一个系统一 旦受到外界或内部干扰，就偏离原来的平 衡工作状态，且越来越远，扰动消失后 第三章 时域分析

第三章时域分析（续）线性系统的稳定性分析也不能恢复原状，显然无法满足要求，也无法正常工作。因此，稳定性是系统正常工作的首要条件及重要性能。分析稳定性并找出保证系统稳定的条件，是设计的基本任务之一任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。系统的稳定性一是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复原来状态的性能。若能恢复则为稳定系统；若不能恢复且偏差越来越大，则为不稳定系统

也不能恢复原状，显然无法满足要求，也无法正常工 作。因此，稳定性是系统正常工作的首要条件及重要 性能。分析稳定性并找出保证系统稳定的条件，是设 计的基本任务之一。 任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产 生初始偏差。 线性系统的稳定性分析（续） 第三章 时域分析 系统的稳定性 — 是指系统在扰动消失后，由初 始偏差状态恢复原来状态的性能。若能恢复则为稳定 系统；若不能恢复且偏差越来越大，则为不稳定系统

第三章时域分析3.5.2线性系统稳定的充要条件★系统稳定的充要条件为：都为负实数或都具系统特征方程的根（即闭环极点）有负的实部。亦即，牛特征根都严格位于s左半面上。因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根推导过程略。P75-76

推导过程略。P75-76 ★系统稳定的充要条件为： 系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具 有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。 因此，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全 部特征根。 第三章 时域分析 3.5.2 线性系统稳定的充要条件

第三章时域分析 (续)稳定的充要条件这对于一、二阶系统很简单：C一阶: ags+a, =0.: s, =-"ao只要a，a均大于零系统就稳定。-4a.a二阶: ags2 +as+a, = 0 : 1, =-++2aoCURREN当aα,a,均大于零时，S1,2均小于零，系统稳定

0 1 2 2 a0 s  a s  a  0 0 2 2 1 1 1.2 2 4 a a a a a s    二阶：   0 1 2 a ,a ,a 1,2 当 均大于零时， s 均小于零，系统稳定。 这对于一、二阶系统很简单： 只 要 均大于零系统就稳定。 一阶： 0 1 0 1 0 1 1 , 0 a a a a a s  a   s   稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析（续）稳定的充要条件但对于三阶及三阶以上的系统，求特征根判断稳定性显然不现实。所以，人们需要寻求一种不需要求解高阶代数方程而能判断稳定性的间接方法。劳斯判据和赫尔维茨判据就是这样的稳定性判别方法：利用特征方程的各项系数进行代数运算，得到全部极点为负实部的条件，以此条件判断稳定性

但对于三阶及三阶以上的系统，求特征根判断稳定 性显然不现实。所以，人们需要寻求一种不需要求 解高阶代数方程而能判断稳定性的间接方法。劳斯 判据和赫尔维茨判据就是这样的稳定性判别方法： 利用特征方程的各项系数进行代数运算，得到全部 极点为负实部的条件，以此条件判断稳定性。 稳定的充要条件（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析（了解）3.5.3赫尔维茨判据设a,s" +asn-l +a,+an-s+a,=0..作系数行列式：2n-2n-212n-3D.21-2n-5CUR

3.5.3 赫尔维茨判据（了解） 设 0 1 2 2 1 0  1         n n n n n a s a s a s  a s a 作系数行列式： n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D            2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 5 0 0 0 0 0 0 0       第三章 时域分析

第三章时域分析(续)赫尔维茨判据行列式中对角线各元素为特征方程中自第二项开始的各项系数。每列皆以对角线的元素为准，系数a的角标向上依次上升，向下依次下降，当写到特征方程中不存在的系数时，补零。★系统稳定的充要条件：在α0的条件下，各阶主子式均大于零，否则系统不稳CURRENO即对系统要求：D=a>0=aaz-aa>0

行列式中对角线各元素为特征方程中自第二项开始 的各项系数。每列皆以对角线的元素为准，系数a 的角标向上 依次上升，向下依次下降，当写到特征 方程中不存在的系数时，补零。 赫尔维茨判据（续） ★系统稳定的充要条件：在 0 a0  的条件下，各阶主 子式均大于零，否则系统不稳。 即对系统要求： 0 0 1 2 0 3 0 2 1 3 2 1 1       a a a a a a a a D D a 第三章 时域分析

第三章时域分析(续)赫尔维茨判据a:1al3=aazas+agaag-aoas-a,a>0D,=aaa,aD,>0例1.2s4+s3+3s?+5s+10=0解:D, =1>0,CURRED, =aaz-aoa, =1×3-2×5=-7<0所以系统不稳，无须再计算D3,D4

0 0 0 4 2 1 2 1 2 3 0 1 5 0 3 1 3 0 2 4 1 3 5 3        Dn a a a a a a a a a a a a a a a a a a D  1 2 3 5 10 0 4 3 2 例  s  s  s  s   1 3 2 5 7 0 D2  a1 a2  a0 a3        解：D1  1  0， 所以系统不稳，无须再计算 D3 , D4。 赫尔维茨判据（续） 第三章 时域分析

第三章时域分析劳斯判据3.5.4设a,s" +asn-1 +a,sn-2+an-s+a,=0列劳斯表：ao1-aaaay-aasaaz-aan-2bbaab,a,-a,bbas-a,b,n-bb-bC2c,b3 -b,C32Jan

3.5.4 劳斯判据 列劳斯表： 0 1 2 2 1 0  1         n n n n n 设a s a s a s  a s a 第三章 时域分析 n n n n n n s a s f s e e c c b b c d c c b b c s d c b b a a b c b b a a b s c b a a a a a b a a a a a s b s a a a s a a a 0 1 1 1 2 2 1 1 3 1 3 2 1 1 2 1 2 1 4 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 1 2 1 3 3 1 1 4 0 5 2 1 1 2 0 3 1 2 1 3 5 1 0 2 4                       