《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块3 时域分析法 3.4 高阶系统的时域分析

第三章时域分析3.4高阶系统的时域分析3.4.1高阶系统的单位阶跃响应bos" +b,s' +...+b.-+$+b.mΦ(s) =(n≥m)aps" +a,s"-I +...+an-s+an假设闭环系统的零、极点互异：mK,II(s-z,)j=1Φ(s) =(n=n +2n,)(s-s)(s*+250,s+0,.)i=lk=lmII(s-z,)RREKlC(s) =(s-s,)(s? + 250,s+ .i=1k=1

3.4.1 高阶系统的单位阶跃响应 ( ) ,( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 n m a s a s a s a b s b s b s b s n n n n m m m m                  假设闭环系统的零、极点互异： ,( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 n n n s s s s K s z s n k n n n i i m j j                             1 2 1 2 2 1 1 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) n k n n n i i m j j s s s s s z s K C s    3.4 高阶系统的时域分析 第三章 时域分析

第三章时域分析高阶系统的单位阶跃响应分析（续）Br(s+5ronk)+COnk /1-5k1+4+国i=lS-S,k=1 ($+5hWnk)~+(Onk /1-5*k)2bm其中A, =lim sC(s)=它是C(s）在原点的留数。S-0它是C(s)在s.处的留数A, = lim(s - s,)C(s),S-→SiBk.C是与C(s)在闭环复数极点处的留数有关的常数. c(t) = Ao + ≥ A,est + ≥ Bre-5i@u cos Wmk VV1-52tK=+ZChe-5iomtV1-5ktsin Onkk=l

              1 2 1 2 2 2 2 1 0 ( ) ( 1 ) n ( ) 1 k nk nk k k k k n k nk k n i i i s B s k C s s A s A         其 中 lim ( ) ，它是 ( )在原点的留数。 0 0 C s a b A s C s n m s    i ，它是 在 i处的留数。 s s i A s s C s C s s i  lim(  ) ( ) ( )  Bk .Ck是 与C(s)在闭环复数极点处的留数有关的常数。                2 1 2 1 2 2 1 1 0 1 1 n k nk k t k nk k t n k k n i S t i C e t c t A A e B e t k nk i k nk         sin ( ) cos 高阶系统的单位阶跃响应分析(续) 第三章 时域分析

第三章时域分析高阶系统的单位阶跃响应分析（续）可见：高阶系统的时间响应由一些简单函数项（一阶系统和二阶系统的时间响应函数）组成，通常具有振荡性。e(o)4r(a)Ocfr)c(t)(c)(d)3-27万价菜饮的价胶空用

可见：高阶系统的时间响应由一些简单函数项(一阶 系统和二阶系统的时间响应函数)组成，通常具有 振荡性。 第三章 时域分析 高阶系统的单位阶跃响应分析(续)

第三章时域分析3.4.2系统阶跃响应与闭环零极点关系的定性分析:. c(t) = Ao + A;eSt + ZBre-5x@mt" cosnk /1-5k?k=lnhe-SiomtV1-5k?ECsin Onkk=l如果所有闭环极点都具有负的实部，随着1时间的增长，上式中的指数项和阻尼正弦项都将趋于零，则系统稳定

① 如果所有闭环极点都具有负的实部，随着 时间的增长，上式中的指数项和阻尼正弦 项都将趋于零，则系统稳定。 3.4.2 系统阶跃响应与闭环零、 极点关系的定性分析 第三章 时域分析                2 1 2 1 2 2 1 1 0 1 1 n k nk k t k nk k t n k k n i S t i C e t c t A A e B e t k nk i k nk         sin ( ) cos

第三章时域分析高阶系统暂态响应分析（续）闭环极点的负实部的绝对值越大（即闭环极点离虚轴越远）其对应的响应分量减小越快，而且快速减小的分量对响应曲线的初始阶段产生影响系统的闭环零点虽不影响系统响应的类型、趋势和稳定性，但却影响其形状。因为闭环零点会影响留数的大小和正负，故曲线既取决于指数项和阻尼正弦项的指数，文取决于这些项的系数系统的阶跃响应取决于闭环零、极点的分布

势和稳定性，但却影响其形状。因为闭环零点会 影响留数的大小和正负，故 ③ 系统的闭环零点虽不影响系统响应的类型、趋 曲线既取决于指数项 和阻尼正弦项的指数，又取决于这些项的系数。 高阶系统暂态响应分析(续) 第三章 时域分析 ② 闭环极点的负实部的绝对值越大（即闭环 极点离虚轴越远）其对应的响应分量减小 越快，而且快速减小的分量对响应曲线的 初始阶段产生影响。 系统的阶跃响应取决于闭环零、极点的分布

第三章时域分析(二)高阶系统的性能分析：1.计算性能指标的方法：(1)逐点描绘法一一工作量太大(2)计算机仿真(3)利用主导极点近似估算。2.偶极子和主导极点的概念：上述分析可知：系统的阶跃响应取决于闭环零极点的分布。极点离虚轴越远，减小越快。但各暂态分量所占份量除极点与虚轴的距离外，还与留数有关

1．计算性能指标的方法： （1）逐点描绘法——工作量太大。 （2）计算机仿真。 （3）利用主导极点近似估算。 2．偶极子和主导极点的概念： 上述分析可知：系统的阶跃响应取决于闭环零、 极点的分布。极点离虚轴越远，减小越快。但各暂 态分量所占份量除极点与虚轴的距离外，还与留数 有关。 （二）高阶系统的性能分析： 第三章 时域分析

第三章时域分析高阶系统的近似估算（续）留数A.与系统的零、极点分布的关系为：(1)某极点远离原点，则很小 →相应的 A,很小。(2)若某极点接近一零点，而又远离其它极点，则A也很小，且可以忽略。(3)偶极子一一个极点非常接近于一个零点（二者距离比它们离虚轴的距离小一个数量级），这样的一对零极点称为偶极子

si ⑴某极点远离原点，则 1 很小  相应的 Ai 很小。 ⑵若某极点接近一零点，而又远离其它极点，则 Ai 也很小，且可以忽略。 (3)偶极子 — 一个极点非常接近于一个零点（二者距 离比它们离虚轴的距离小一个数量级），这样的一 对零极点称为偶极子。 高阶系统的近似估算(续) 第三章 时域分析 留数 Ai 与系统的零、极点分布的关系为：

第三章时域分析高阶系统的近似估算（续）(4)主导极点一当离虚轴最近的极点到虚轴的距离是或更小，并且附近又没其它极点到虚轴距离的有零点，构不成偶极子时，这样的极点对系统响应起主要作用，故称为主导极点。判断闭环主导极点的两个条件：（1）在左半开平面上，距离虚轴最近且附近没有其它的闭环极点和零点。(2)其实部的长度与其它的极点实部长度相差5倍以上

(4)主导极点—当离虚轴最近的极点到虚轴的距离是 其它极点到虚轴距离的 或更小，并且附近又没 有零点，构不成偶极子时，这样的极点对系统响 应起主要作用，故称为主导极点。 5 1 高阶系统的近似估算(续)  判断闭环主导极点的两个条件：  （1）在左半s开平面上，距离虚轴最近且附近没 有其它的闭环极点和零点。  （2）其实部的长度与其它的极点实部长度相差5 倍以上。 第三章 时域分析

第三章时域分析高阶系统的近似估算（续）3.高阶系统性能估算：对于A.B.C,很小的暂态分量和离虚轴很远的极点所对应的暂态分量，可以忽略。高阶系统降阶后用主导极点估算其性能指标。由于高阶系统一般具有振荡性，故选取的闭环主导极点常以共轭复数极点的形式出现。工程上，常采用一些校正环节使系统具有一对共轭复数主导极点

3. 高阶系统性能估算： 对于 Ai Bk Ck . . 很小的暂态分量和离虚轴很远的极点 所对应的暂态分量，可以忽略。高阶系统降阶后 用主导极点估算其性能指标。 高阶系统的近似估算(续)  由于高阶系统一般具有振荡性，故选取的闭环主 导极点常以共轭复数极点的形式出现。工程上， 常采用一些校正环节使系统具有一对共轭复数主 导极点。 第三章 时域分析

第三章时域分析高阶系统的近似估算（续）例1、已知Φ(s)=(s+1)(0.01s~+0.12s+1)(0.03s+1)试分析系统。100*33解: Φ(s):(s +1)(s~+12s +100)(s+33)=0.6100Sr@n =103*3s, =-1-6:0S1且有S2.3 = -6± j88S3XS4 = -33

试分析系统。 例 、已知 ， ( 1) (0.01 0.12 1) (0.03 1) 1 ( ) 2       s s s s 1 s 高阶系统的近似估算(续)             33 6 8 1 4 2.3 1 s s j s 且有        10 0.6 n  第三章 时域分析 ( 1) ( 12 100) ( 33) 100* 33 解 ： ( ) 2       s s s s s