《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块4 根轨迹分析法 4.4 控制系统的根轨迹法分析

第4章根轨迹4.4控制系统的根轨迹法分析绘出系统的根轨迹后，可分析K（K。）或其它参数对系统的稳定性及性能指标的影响。若结构已定，可确定闭环极点在s平面上的分布，进而计算性能指标利用偶极子和主导极点的概念可以估算高阶系统的性能指标。而当系统的性能指标给定后，可根据设计要求，确定出闭环主导极点所必须处于的平面上的位置，进而确定出K（K）值。若要求的主导极点不在根轨迹上，可对根轨迹进行改造，使其满足要求

4.4 控制系统的根轨迹法分析 绘出系统的根轨迹后，可分析K (Kg )或其它参数 对系统的稳定性及性能指标的影响。若结构已定，可 确定闭环极点在s平面上的分布，进而计算性能指标。 利用偶极子和主导极点的概念可以估算高阶系统的性 能指标。而当系统的性能指标给定后，可根据设计要 求，确定出闭环主导极点所必须处于的s平面上的位置， 进而确定出K（Kg）值。若要求的主导极点不在 根轨迹上，可对根轨迹进行改造，使其满足要求。 第4章 根轨迹

第4章根轨迹4.4控制系统的根轨迹法分析4.4.1闭环系统零、极点的确定4.4.2闭环零极点分布与阶跃响应关系的定性分析4.4.3增加开环零极点对根轨迹的影响

第4章 根轨迹 4.4.1 闭环系统零、极点的确定 4.4.2 闭环零极点分布与阶跃响应关系 的定性分析 4.4.3 增加开环零极点对根轨迹的影响 4.4 控制系统的根轨迹法分析

第4章根轨迹4.4.1闭环系统零、极点的确定闭环零点的确定1、单位反馈系统：mK,II(s-z)i=1:Gr(s)=nI(s- p,)i=lmK,II(s-z)Gr(s)i=l..Φ(s)=m1+G(s)I(II(s-z,)[(s-p:)+ Kgi=1j=l即闭环零点等于开环零点

一、闭环零点的确定 1、单位反馈系统：        n i i m j g j k s p K s z G s 1 1 ( ) ( )  ( )               m j g j n i i m j g j k k s p K s z K s z G s G s s 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 即闭环零点等于开环零点。 第4章 根轨迹 4.4.1 闭环系统零、极点的确定

第4章根轨迹系统的根轨迹法分析（续）2、非单位反馈系统：mimKcIIK.I(S- ZGr)S-zHBr=lk=1设G(s)=H(s)=flc-Ppa)n2(s-Pm)q=11=1G(s)则@(s)= 1+G(s)H(s)mKII(s-zcr))I(s-PH)=12mmII(s- Pcg)(s- Pm)+KKII(s-Zcr )I(s-ZHk[=1q=1k=1r=l即闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成

即闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。        1 1 1 1 ( ) ( ) 设 ( ) n q Gq m r G Gr s p K s z G s        2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n l Hl m k H s p K s z H s Hk 1 ( ) ( ) ( ) 则 ( ) G s H s G s s    2、非单位反馈系统： 系统的根轨迹法分析（续） 第4章 根轨迹                     1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m k Hk m r G H Gr n l Hl n q Gq n l Hl m r G Gr s p s p K K s z s z K s z s p

第4章根轨迹（续）系统的根轨迹法分析当系统满足n>m时，可以得到以下结论：(1）系统闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益。特别地，当系统为单位反馈时，其闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益，也等于开环根轨迹增益。(2)闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。特别地，当系统为单位反馈时，闭环零点就是开环零点

系统的根轨迹法分析（续） 第4章 根轨迹 当系统满足n>m时，可以得到以下结论: （1）系统闭环根轨迹增益等于前向通道根轨迹增 益。特别地，当系统为单位反馈时，其闭环 根轨迹增益等于前向通道根轨迹增益，也等 于开环根轨迹增益。 （2）闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极 点构成。特别地，当系统为单位反馈时，闭 环零点就是开环零点

第4章根轨迹闭环极点的确定绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其对应的K。值。这些特殊位置点通常包括：1、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数土jの。此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解根轨迹与虚轴的交点及所对应的K值，可以确定一个条件稳定系统的参数取值范围

二、闭环极点的确定 第4章 根轨迹 绘制根轨迹的过程实质上就是确定系统闭环极 点的过程。而通过根轨迹对控制系统进行性能分析 时，往往最为关注根轨迹上的某些特殊位置点及其 对应的Kg 值。这些特殊位置点通常包括： 1、根轨迹与虚轴的交点： 根轨迹与虚轴的交点，为一对共轭纯虚数±jω。 此时系统处于临界稳定状态。通常称根轨迹与虚轴 的交点为根轨迹上的临界稳定点。因此，通过求解 根轨迹与虚轴的交点及所对应的Kgc 值，可以确定一 个条件稳定系统的参数取值范围

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定例1：某反馈系统的开环传递函数为K,(s+l)G(s)H(s) =s(s -1)(s* +4s +16)试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定K.的取值范围解: ① n=4, m=1, zi=-1, Pi=0, P2=1, P3.4 =-2± j2/3实轴上的根轨迹位于(-，-1]和[0，1]渐近线：Zp,-Z0+1-2+j2/3-2-j2/3+1=O4-1n-man(2k+1)元=60°-60°180n-m

例1：某反馈系统的开环传递函数为 第4章 根轨迹 试绘制系统根轨迹，并求使系统稳定Kg的取值范围。 闭环极点的确定（续） ( 1)( 4 1 6) ( 1) ( ) ( ) 2      s s s s K s G s H s g ② 实轴上的根轨迹位于(-∞，-1]和[0，1] 。 解：① n=4，m=1，z1 =-1，p1=0，p2=1， p3,4  2  j2 3 ③ 渐近线： 3 2 4 1 1 1 0 1 2 j2 3 2 j2 3 1                  n m p z m j j n i i  a    60 , 60 ,180 (2 1)      n m k a  

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定N(s) = s* + 3s3 +12s2 -16s分离点：M(s)=S+1,4：:. N (s)M(s)- N(s)M (s)=3s* + 10s3 + 21s2 +24s -16= 0用试探法可求得：Sa=0.46Sd2 =-2.22用长除法还可求得方程有两个共轭复根：S3,4 =-0.79± j2.16但可以验证，Sd3,4不满足系统的特征方程D(s)=0 ，故应舍去。所以，系统只在实轴上存在两个分离点CURRENOSai和Sd20出射角：0,3 =180° +106 -120° -130.5°-90°=-54.5°0p4 =54.5°

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ④ 分离点： M(s) s 1, N(s) s 3s 1 2s 1 6s 4 3 2       ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2 1 2 4 1 6 0 ' ' 4 3 2 N s M s  N s M s  s  s  s  s   0.46 2.22 用试探法可求得：sd1  sd 2   用长除法还可求得方程有两个共轭复根： 0.79 j2.16 s3,4    但可以验证，sd3,4不满足系统的特征方程D(s)=0 ， 故应舍去。所以，系统只在实轴上存在两个分离点 sd1和sd2。 ⑤ 出射角：        p3  180  106 120 130.5  90  54.5   p4  54.5

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定与虚轴交点：6D(s)= s+ +3s3 +12s2 +(K -10)s+K, =012K3Kg-1652-KK23+59K,-38252-KK9CURRE-K+59K,-382=052-Kg解得： Kgcl =23.3Kgc2=35.7

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） ⑥ 与虚轴交点： ( ) 3 12 ( 16) 0 4 3 2 D s  s  s  s  Kg  s  Kg  g g g g g g g g s K K K K s K K s s K s K 0 2 1 2 3 4 5 2 5 9 382 3 5 2 3 1 6 1 1 2       0 5 2 5 9 382 2      g g g K K K 令 23.3 35.7 解得：Kgc1  Kgc2 

第4章根轨迹（续）闭环极点的确定52-KCs? +K,=0取辅助方程：3Kgcel =23.3时, S,2 =±j1.56H54.5Kgc2 =35.7时, S1,2 =±j2.56B,j2.57 (Kge2=35.7)jl.56(Kgel=23.3)由根轨迹可知：00-KgP2P4C当23.3<K<35.7时，I当系统是稳定的；j1.56(Kgel=m23.3)j2/57 (Kge235.7)超出这一范围，系B2P统不稳定

第4章 根轨迹 闭环极点的确定（续） 取辅助方程： 0 3 52 2    g g s K K 23.3 1.56 1 1,2 K s j gc  时 ，   35.7 2.56 2 1,2 K s j gc  时 ，   由根轨迹可知： 当23.3<Kg<35.7 时， 系统是稳定的；当 超出这一范围，系 统不稳定