《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块7 线性离散控制系统 7.6 离散系统的稳定性分析

第七章离散系统7.6离散系统的稳定性分析7.6.1稳定的充要条件7.6.2劳斯稳定判据CURRE

7.6 离散系统的稳定性分析 7.6.1 稳定的充要条件 第七章 离散系统 7.6.2 劳斯稳定判据

第七章离散系统7.6离散系统的稳定性分析7.6.1稳定的充要条件：线性连续系以虚轴为界[s]统稳定的充要条件是特征方程的根不稳定区稳定区全部位于左0半s平面上，稳定与不稳定区域以虚轴为界

7.6 离散系统的稳定性分析 7.6.1 稳定的充要条件: j [s] 0 稳定区 不稳定区 线性连续系 统稳定的充 要条件是特 征方程的根 全部位于左 半s平面上， 稳定与不稳 定区域以虚 轴为界。 ∆ 以虚轴为界 第七章 离散系统

第七章离散系统（续）离散系统的稳定性对于离散系统，若要得到系统稳定的充要条件，应分析系统的阶跃响应才是。通过上节分析离散系统闭环极点分布与动态性能的关系可知：(1)当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响应是收敛的，系统是稳定的。(2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响应是发散的，系统是不稳定的

离散系统的稳定性（续） 对于离散系统，若要得到系统稳定的充要 条件，应分析系统的阶跃响应才是。 通过上节分析离散系统闭环极点分布与动 态性能的关系可知： （1）当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响 应是收敛的，系统是稳定的。 （2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响 应是发散的，系统是不稳定的。 第七章 离散系统

第七章离散系统离散系统闭环极点分布与动态性能的关系(3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响应是等幅振荡的，系统仍是不稳定的。[z]Im不稳定区稳定区Re以单位圆为界

离散系统闭环极点分布与动态性能的关系 0 Re -1 1 Im [z] 稳定区 不稳定区 Δ以单位圆为界 （3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响 应是等幅振荡的，系统仍是不稳定的。 第七章 离散系统

第七章离散系统主（续）离散系统的稳定性充要条件：G(z)C(z): Φ(z) :R(z)1+ GH(z).特征方程为1+ GH(z)=02.(i=1,2,n）为闭环脉冲传递函数的极点。则离散系统稳定的充要条件：所有几均位于[平面上以原点为圆心的单位圆内，即要求[以,<1

离散系统的稳定性（续）  充要条件： , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G H z G z R z C z z      特征方程为 1  G H(z)  0 (i 1,2, n)  i   为闭环脉冲传递函数的极点。 即要求  i  1。  i 所有 均位于 z 平面上以原点为圆心的单位圆内， 则离散系统稳定的充要条件： 第七章 离散系统

第七章离散系统稳定的充要条件（续）因此若能解出，即可知道系统稳定与否。(1)当系统的闭环特征方程以因式的形式给出时，可直接判别其稳定性(2)当系统的闭环特征方程不是以因式的形式给出时，又分以下两种情况：10如果为一、二阶系统，也可直接解得特征根。CURREN20如果为高阶系统，不易解得特征根，可用判据

因此若能解出  i ,即可知道系统稳定与否。 稳定的充要条件(续) （1）当系统的闭环特征方程以因式的形式给出时，可 直接判别其稳定性。 （2）当系统的闭环特征方程不是以因式的形式给出时， 又分以下两种情况： 1 0 如果为一、二阶系统，也可直接解得特征根。 2 0 如果为高阶系统，不易解得特征根，可用判据。 第七章 离散系统

第七章离散系统7.6.2劳斯稳定判据对于线性离散系统不能直接应用劳斯判据，因为它只能判断系统特征根是否在S]平面的左半部因此采用一种变换方法，使【Z】平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换，亦称为W变换设z=W+1Z+1么是定义在【z平面上的复数WW-1Z-W是定义在[W平面上的复数；

7.6.2 劳斯稳定判据 对于线性离散系统不能直接应用劳斯判据，因为 它只能判断系统特征根是否在[s]平面的左半部。 因此采用一种变换方法，使[z]平面上的单位圆映 射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线 性变换，亦称为w变换。 , 1 1    w w z , 1 1    z z 设 w z是定义在 [z] 平面上的复数， w是定义在 [w] 平面上的复数; ； 第七章 离散系统

第七章离散系统稳定判据（续）若z=x+iy,w=u+jv,2y1+x+j(x2+y)-lw=u+iv=x-1+j(x-1)2+y2(x-1)2 + y2因为对于[w平面上的jiv轴，实数u=0,x2+2-1=0,所以x2+2=1,这就是[z]平面上以原点为圆心的单位圆方程。x2+y21，[]平面的单位圆外，对应于[w]平面的右半部（u>0）

若z  x  jy, w  u  jv , 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( ) 1 1 1 x y y j x y x y x jy x jy w u jv                因为对于 [w] 平面上的 jv 轴，实数 u  0, 稳定判据(续) 以原点为圆心的单位圆方程。 x 2  y 2  1  0 ,所以 x 2  y 2  1 ,这就是 [z] 平面上 1 2 2 x  y  [w] (u  0) ，[z]平面的单位圆内，对应于 平面的左半部 1 2 2 x  y  [w] 平面的右半部 (u  0) ，[z]平面的单位圆外，对应于 第七章 离散系统

第七章离散系统稳定判据（续）jy[][z]映射OW+1所以 z=代入闭环离散系统的特征方程，进行w-1变换后得到P(w)= D(2)l_=l=0,即可应用劳斯判据。H

u 0 jv [w] -1 0 1 jy [z] x 稳定判据(续) 映射 所以 代入闭环离散系统的特征方程，进行 变换后得到 ,即可应用劳斯判据。 1 1    w w z ( ) ( ) 0 1  1     w w z P w D z 第七章 离散系统

第七章离散系统稳定判据（续）用劳斯判据判别稳定性的步骤：1）求出离散系统的特征方程D(z) =1+ GH(z) = 0W+1代入 D(z)=0 中整理得到 P(w) = 02)令zw-1应用劳斯判据：3斤P(w)=0的根是否都位于[w] 的左半部。CURREN

用劳斯判据判别稳定性的步骤： 2）令 中整理得到 P(w)  0 1 1    w w z 代入 D(z)  0 1）求出离散系统的特征方程 D(z)  1  G H(z)  0 3）应用劳斯判据： P(w)  0 的根是否都位于 [w] 的左半部。 第七章 离散系统 稳定判据(续)