《数字信号处理 Digital Signal Processing》课程教学资源（讲义）第三章 离散傅里叶变换

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1 第三章 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform)

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2 §3-1 傅里叶变换的几种形式 时域x(t)、x(n)与频域X(jΩ)、X(ejω)之间的变换关 一、连续时间与连续频率的傅立叶变 ) ( ), ( Ωj X t x a a ∫ ∞∞ − Ω − = Ω dt e t x j X t j a a ) ( ) ( Ω Ω = ∫ ∞∞− Ω d e j X t x t j a a ) ( 21 ) ( π ) (t xa t ) ( Ωj Xa Ω 结论：一非周期连续时间函数对应于一非周期连续频率函数

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3 二、连续时间与离散频率的傅里叶表示（变换） 即周期性信号的傅里叶表示： ∞ ∑ −∞ = Ω Ω = m t jm a e m X t x ) ( ) ( ) (t xa ) ( Ωm X ∫ − Ω − = Ω 2 2 ) ( 1 ) ( TT t jm a dt e t x T m X ) (t xa t ) ( Ωm X T π2 = Ω Ω m

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4 T π2 = Ω 相邻两谱线间隔为 结论：周期性连续的时间函数对应于非周期的离散频率函数 三、离散时间与连续频率的傅里叶变换 即：时域离散序列的傅里叶变换 ∞ ∑ −∞ = − = n n j j e n x e X ω ω ) ( ) ( ∫ ∞∞− = ω π ω ω d e e X n x n j j ) ( 21 ) (

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5 ) (n x n T π2 ) ( ωj e X ω 结论：非周期的离散时间函数对应于周期性连续频率函数。 四、离散时间与离散频率的傅里叶变换 对傅里叶变换，t与f是对称的 因此在频域上取样将在时域上得到周期函数

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6 ) ( ~ k X π2 N k .... ) ( ~ n x T 周期离散 − − −) ( ~ n x 周期离散 − − −) ( ~ k X 即：周期性的离散时间函数对应于周期性离散频率函数 ---离散傅里叶级数DFS

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7 § 3-2 离散傅里叶级数(DFS) 一、定义 已知x(n) 0≤n≤N-1有限长, 则其傅里叶变换 ） 周期为 π ω ω 2 ( ) ( ) ( 1 0 ∑ − = − = N n n j j e n x e X ) ( ~ ωj e X 记为： ∑ − = − = 1 0 ) ( ) ( ~ N n n j j e n x e X ω ω ) ( ~ n x 对频域取样，一周期内取样N点，将使时域x(n)周期化为

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8 k N k π ω 2 = ω被离散化： 正变换 DFS e n x e X k X N n kn Nj k N j − − − = = ∴ ∑ − = − = 1 0 2 2 ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ π π ω ω ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ 1 0 2 1 0 ) ( 2 k X e n x e n x N k X N n kn Nj N n n N k Nj = = = + ∑ ∑ − = − − = + − π π 显然 π2 反变换： kr N j e 两边同乘 并对一周期求和 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = − = − − = = ⋅ = 1 0 1 0 ) ( 2 2 1 0 1 0 2 1 0 2 ) ( ~ ) ) ( ~ ( ) ( ~ N n N k n r k Nj kr Nj N k N n kn Nj N k kr Nj e n x e e n x e k X π π π π

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9 正交原理） 而 ( 0 ) ( sin ) ( sin 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 1 0 ) ( 2    = ≠ = − − = − − = − − − − − − − = − ∑ n r n r N n r N e n r e e e e n r N j n r j n r N j n r j N k n r k N j π π π π π π π ) ( ~ ) ( ~ 1 0 2 r x N e k X N k kr N j = ∴ ∑ − = π nk N j N k e k X N n x π 2 1 0 ) ( ~ 1 ) ( ~ ∑ − = = ∴ N j N e W π 2 − = 记 [ ] [ ]      ∑ ∑ − = − − = = = = = nk N N n nk N N k W n x n x DFS k X W k X N k X IDFS n x 1 0 1 0 ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ 1 ) ( ~ ) ( ~ 则有

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10 二、 的物理意义 ) ( ~ k X { 1 0 ) ( ~ else 0 ) ( − ≤ ≤ = N n n x n x ∑ ∑ − = − − = − = = 1 0 1 0 ) ( ~ ) ( ) ( N n n N n n z n x z n x z X k Nj k N e z Wz z X z X k X π2 ) ( ) ( ) ( ~ = = = = − 即 是在 的一个周期所得序列的Z变换单位圆上 等间隔取样得到的。每循环一次，得到 的一个周期 ) ( ~ k X ) ( ~ n x ) ( ~ k X [ ] Z jIm N π2 [ ] Z Re 1 = Z