《材料力学》第八章 弯曲变形

树料力 第八支形

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第八章弯曲变形 s8-1梁的挠度和转角 §8-2挠曲线近似微分方程 □§8-3积分法求弯曲变形 □§84叠加法求弯曲变形 §8-5梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施 ☆简单静不定梁

2 §8–1 梁的挠度和转角 §8–2 挠曲线近似微分方程 第八章 弯曲变形 §8–4 叠加法求弯曲变形 §8–5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 * 简单静不定梁 §8–3 积分法求弯曲变形

§8-1梁的挠度和转角 桥式吊梁在自重及 重量作用下发生弯曲变形 研究范围:等直梁在对称弯曲时位移的计算 研究目的:①对梁作刚度校核; ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)

§8－１ 梁的挠度和转角 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）

度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用ν表示。 与y同向为正,反之为负 J P 2.转角:横截面绕其中性轴转 动的角度。用O表示,逆时 ● 针转动为正,反之为负。 二、挠曲线:变形后,轴线变为光滑曲线,该曲线称为挠曲线。 其方程为: wf(c) 三、转角与挠曲线的关系:gb=小变形 →6=f(x)( L

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，逆时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 ( ) (1) d d tg f x x w  =   =  小变形 P x w C  C1 y

§8-2挠曲线近似微分方程 y 挠曲线曲率 M2(x) El M>0 )>0x1=±/(x)小变形 P(+fx)≈±fx) y M<0 ∴f"(x)=± M(x) E/ f"(x)<0 f"(x)=M(x) El 即挠曲线近似微分方程

§8-2 挠曲线近似微分方程 z z EI 1 M (x) =  z z EI M x f x ( )  ( ) =  即挠曲线近似微分方程。 ( ) (1 ( ) ) 1 ( ) 2 3 2 f x f x f x    +   =   小变形 y x M>0 f (x)  0 y x M<0 f (x)  0 挠曲线曲率: EI M x f x ( )  ( ) =

对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式: E"(x)=M(x)

6 EIf (x) = M (x) 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：

§8-3积分法求弯曲变形 挠曲线近似微分方程:E(x)=M(x) 用积分法求弯曲变形(挠曲线方程) 1.微分方程的积分 Elf(x=M(x) EO=E∥(x)=Mxdx+C1 Eh=E∥(x)=J可M(x)xdx+Cx+C2 C1、C2为积分常数,据边界条件确定

7 EIf (x) = M (x) 用积分法求弯曲变形（挠曲线方程） EIf (x) = M (x) d 1 EI = EIf (x) = M (x) x +C   d 1 2 EIw = EIf (x) = [ M (x)dx] x +C x +C   1.微分方程的积分 C1、C2为积分常数，据边界条件确定 §8-3 积分法求弯曲变形 挠曲线近似微分方程：

2.位移边界条件 0支点位移条件: P B .=0 A g=0 D w=00 =0 D D P B 连续光滑条件: W+=w 左 C 右 (集中力、集中力偶作用处, 0= 右 截面变化处)

2.位移边界条件 P A C B P D 支点位移条件： P 连续光滑条件： A C B 左 右 C C w = w 左 右 C C  =  = 0 = 0 wA wB = 0 = 0 wD  D （集中力、集中力偶作用处， 截面变化处）

讨论: ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 件)确定。 ④优点:使用范围广,直接求出较精确;缺点:计算较繁

讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁

例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解: y o建立坐标系并写出弯矩方程 M(x)=P(x-l 2写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数 El=M(x)==P(L-x EJ(0)=-PE+C2=0 Elw =P(L-x)+C 2 EIO(0)=Ef(0)=PL2+C1=0 2 EIw=P(L-x)+Cix+C,. C1=-PL; C2=PL 6 2

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = P(x − L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIw" = M (x) = −P(L − x) 1 ' 2 ( ) 2 1 EIw = P L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIw = − P L − x +C x +C 0 6 1 (0) 2 3 EIf = − PL +C = 0 2 1 (0) (0) 1 2 EI = EIf  = PL +C = 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = − PL C = PL 解： L P x y