《数据模型与决策》第九章 非线性优化

Chapter 9 Nonlinear optimization 非线性优化

Chapter 9 Nonlinear optimization 非线性优化

9-1概述 ●例P531组合投资的最优收益管理 P532投资三项,数据 Table9.1 min组合方差 s.t. P+R+E=l0 1.80P+1.35R+1.65」1.60 PRIO

9-1 概述 ●例 P531 组合投资的最优收益管理 P532 投资三项，数据Table9.1 min 组合方差 s.t. P+R+I=1.0 1.80P+1.35R+1.65I≥1.60 P,R,I≥0

●金融管理中常以方差为风险的度量 ●第二项约束右端的160为给定或期望的回报率 ●投资中的两个基本问题: (1)给定回报率(收益),使组合风险最小 min风险(2) st.收益>C (2)给定风险限制,使回报尽可能大 max收益 st.风险<a

●金融管理中常以方差为风险的度量 ●第二项约束右端的1.60为给定或期望的回报率 ●投资中的两个基本问题： （1）给定回报率（收益），使组合风险最小 min 风险(σ2 ) s.t. 收益≥C （2）给定风险限制，使回报尽可能大 max 收益 s.t. 风险≤a

92关于组合风险的计算 ●设x为随机变量 有E(X)∑Px,Ox2=∑P(x-E(x)2 例P109 夏季酬金 21.600 0.02 16800 0.10 14.000 0.60 12000 0.16 6.000 0.10 0 0.02 μx=21600×0.02+16800×0.10+.+0×0.02=13032 2=0.02×(21600-13032)2+.+0.02× (0-13032)2=11,962.176,0=3,4586

9-2 关于组合风险的计算 ●设xi为随机变量 有E(X)=∑pi xi , σx 2=∑pi (xi －E(x))2 例.P109 夏季酬金 pi 21,600 0.02 16,800 0.10 14,000 0.60 12,000 0.16 6,000 0.10 0 0.02 μx =21600×0.02+16800×0.10+…+0×0.02=13,032 σx 2=0.02×(21600－13032) 2+…+0.02× (0－13032) 2=11,962.176 , σx =3,458.6

●随机变量的线性函数 例Y=0.75X+135 则E(Y0.75E(X)+135 般,若Y=aX+b 则E(YaE(X)+b 0.4-a20

●随机变量的线性函数 例 Y=0.75X+135 则 E(Y)=0.75 E(X)+135 一般，若Y=aX+b 则 E(Y)=a E(X)+b σy 2=a2σx 2

●协方差讨论两个平行变量X,Y之间的关联 COv(X,Y∑p(xX1-以y1=)=x 注:可类比回归中的( y1 可用CO(XY)检查X与Y是否独立

●协方差 讨论两个平行变量X, Y之间的关联 COV(X,Y)= ∑pi (xi －μx )( yi －μy )= σxy 2 (注：可类比回归中的(xi －x )( yi －y )) 可用COV(X,Y)检查X与Y是否独立

●两随机变量和(P123) 如Z=5X+8Y 般Z=aX+bY 可得出E(Z)=aE(X)+bE(Y G2=a20x2+b2o,2+2abo2

●两随机变量和（P123） 如Z=5X+8Y 一般 Z=aX+bY 可得出 E(Z)=a E(X)+b E(Y) σz 2=a2σx2+b2σy 2+2abσxy 2

●凸组合 Z=0X+(1-)Y,称Z为X与Y的凸组合,其中0≤0≤1。 此时,o2=a2a3+(1-)2oy2+20(1-)ox2 P128画有曲线,为下凸,表示存在最佳α使σ2最小

●凸组合 Z=αX+(1－α)Y,称Z为X与Y的凸组合，其中0≤α≤1。 此时, σz 2=α2σx 2+(1-α)2σy 2+2α(1-α)σxy 2 P128画有曲线，为下凸，表示存在最佳α使σz 2最小 α σz 2

●P532例的计算 用 Table9,1的实测数据 建模 min Var(R=190P2+110R2+1502+ 2×34PR+2×103PI-2×27RI st.P+R+=1.0 1.80P+1.35R+1.651.60 PRIO 可用软件求解,得P=0.285,R=0.309,I0406 其最优收益方差为8585。PR即为投往三处的 份额

●P532例的计算 用Table9.1的实测数据 建模 min Var(R)=190P2+110R2+150I2+ 2×34PR+2×103PI－2×27RI s.t. P+R+I=1.0 1.80P+1.35R+1.65I≥1.60 P,R,I≥0 可用软件求解，得P=0.285，R=0.309，I=0.406 其最优收益方差为8.585。P,R,I即为投往三处的 份额

●若希望控制组合风险在115%之内,则有相应的 问题: max1.80P+1.35R+1.65I s.t. P+R+I=l0 190P2+110R2+1502+68PR+206PI 54RI<11.52 PRIO 可得P=0635,R=0.061,I0.304 其最大收益为1.727

●若希望控制组合风险在11.5%之内，则有相应的 问题： max 1.80P+1.35R+1.65I s.t. P+R+I=1.0 190P 2+110R2+150I 2+68PR+206PI －54RI≤11.5 2 P,R,I≥0 可得P=0.635，R=0.061，I=0.304 其最大收益为1.727