同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 离散傅里叶变换（3/7）

Q)=、离散变换ODF 长度为N的有限长序列x(m) 周期为N的周期序列(n) x(n)=x(nr (n (m)的主值序列 (n)=∑x(n+rN)=x(m)x(n)周期延拓 同样:X(k)也是一个N点的有限长序列 X(K=X((K)N X(k)=X(KR(k)

三、离散傅里叶变换（DFT） ( ) ( ) r x n x n rN       ( ) ( ) ( ) N x n  x n R n ( ) (( )) X N k  X k  ( ) ( ) ( ) X N k  X k R k  同样：X(k)也是一个N点的有限长序列 ( ) ( ) N x n N x n 长度为 的有限长序列 周期为 的周期序列 (( ))N  x n x(n)的主值序列 x(n)的周期延拓

有限长序列的DFT正变换和反变换: X(k)=DF[x(n)=∑x(n)WW0≤k≤N-1 n=0 x(m)=1DFT[X(k)=∑ X(kwWx0≤n≤N-1 N k=0 Et X(k)=2x(n)WR(k)=X(k)R,(k) n=0 (n)=>X(k)WNR(n)=x(n)R,(n) N k=0 其中:WN=e

有限长序列的DFT正变换和反变换： 1 0 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 N nk N n X k DFT x n x n W k N         1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 N nk N k x n IDFT X k X k W n N N          2 j N WN e   其中：  1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N nk N N N n X k x n W R k X k R k   或     1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N nk N N N k x n X k W R n x n R n N       

DFT与序列的DTFT和变换的关系: (e")=∑x(m)lm X(z x(n)2 X(k)=∑x(mWx=X(=) n=0 X(e/) x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样; x(n)的DTFT在区间[0,2x]上的N点等间隔抽 样

x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； DFT与序列的DTFT和z变换的关系： 1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z      1 0 ( ) ( ) N nk N n X k x n W     1 0 ( ) ( ) N j j n n X e x n e        2 ( ) j k N X e     x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽 样。 ( ) 2 j k k N N z W e X z     

例:已知序列x(m)=R4(m)求x(n)8点和16点DFT。 解:求x(n)的DTFT X(e o)=2x(n)e vom=e yom_1-e 14o 0 12 j20 120 e e -e o sin (2@ sin(o/

4 例：已知序列x(n)  R (n),求x(n)的8点和16点DFT。 解：求x n的DTFT     j j n n X e x n e          2 2 2 2 2 2 j j j j j j e e e e e e                        3 2 sin 2 sin / 2 j e      3 0 j n n e      4 1 1 j j e e       

求x(n)的8点DFTN=8 x()=X(e")x 2丌 sin2·-k e 543 sin k 28 n=k 2 n-k

求x n的8点DFT N  8     2 8 j k X k X e     3 2 4 2 sin 2 8 1 2 sin 2 8 j k k e k                     3 8 sin 2 sin 8 j k k e k                 

求x(n)的6点DFTN=16 X()=X(e") 2兀 2, Sin/ 2 16 e 12兀 SIn k 0.5 25 216 6 SIn k 0 -k sin“k

求x n的16点DFT N  16     2 16 j k X k X e     3 2 2 16 2 sin 2 16 1 2 sin 2 16 j k k e k                     3 16 sin 4 sin 16 j k k e k                 

x() ( (T) 210929,=9T (1) 0 X(k) lI. uli li,ll. uill DFT的图形解释