同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 离散傅里叶变换（4/7）

Q.离散/里叶变换的性质 DFT正变换和反变换: X(k)=DFT[x(n)]=2x(n)WnR(k) n=0 x(n)=IDFTIX(K)=X(k)WNRn N k=0 其中 W =e

四、离散傅里叶变换的性质 DFT正变换和反变换： 1 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N nk N N n X k DFT x n x n W R k      1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N nk N N k x n IDFT X k X k W R n N       2 j N WN e   其中： 

1、线性 若x1(k)=DFT[x(n) X()=DFTIx,(n)] DFTLax, (n)+bx,(n)=ax,(k)+bx,(k) a,b为任意常数 这里,序列长度及DFT点数均为N 若不等,分别为M1,N2,则需补零使两序列长度 相等,均为N,且N≥max[N1,N2

1、线性： a,b为任意常数 这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 m 1 2 N  ax[N ,N ] 1 1 X (k)  DFT[x (n)] 2 2 X (k)  DFT[x (n)] 若 1 2 1 2 则 DFT[ax (n) bx (n)]  aX (k) bX (k)

Q2、序列的圆周移位 定义:xn(m)=x(n+m)R(m) 周期移位 取主值 x(n x(n i(n +m) x (n 延拓 x(7+m) 序列

2、序列的圆周移位 ( ) (( )) ( ) m N N 定义： x n  x n  m R n x(n) x(n) x(n m) ( ) mx n 周期 延拓 移位 取主值 序列 (( ))N  x n  m

N-1iN ￥(r 0 X(n+2)=x(n+2 n=0 N2N-1 x((n+2)NRNn)

Xm(k)=DFTLm (n)]= DFT[x(n+m)NR(n) WN X(k) iE: DFT[x((n+m))RN(n)]= deT[(n+mR(n) DFSL(n+MIR(k) WN X(KR(k)=WN X(k) 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移, 而对频谱幅度无影响

有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。 ( ) [ ( )] [ (( )) ( )] X m m N N k  DFT x n  DFT x n  m R n ( ) mk WN X k   [ (( )) ( )] [ ( ) ( )] DFT N N N 证： x n  m R n  DFT x n  m R n [ ( )] ( ) DF N  S x n  m R k ( ) ( ) mk WN X N k R k    ( ) mk WN X k  

调制特性 IDFTIX((K+DNRN]=WNx(n)=eNx(n iE: IDFTIX((k +D))R(k)]= IDdFTIX(k+ORN(k) IDFSLX(K+DR(n) W(nr(n=wx(n) 时域序列的调制等效于频域的圆周移位

调制特性： 时域序列的调制等效于频域的圆周移位 2 [ (( )) ( )] ( ) ( ) j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n e x n      [ (( )) ( )] [ ( ) ( )] N N N IDFT X k l R k  IDFT X k l R k 证：  [ ( )] ( ) N  IDFS X k  l R n  ( ) ( ) ( ) nl nl WN N N  x n R n  W x n

丌n x(n)coS N IX((k-d)+X(k+D)NRk) (x儿=2/(k-)-X(k+),RA) :DF7{[X(k-1)-X(k+1)]R(k) Wx(n)-Wnlx(n)] 2元nl x(n)=x(n)sin N

  2 1 ( )cos (( )) (( )) ( ) 2 N N N nl DFT x n X k l X k l R k N                  2 1 ( )sin (( )) (( )) ( ) 2 N N N nl DFT x n X k l X k l R k N j                  1 (( )) (( )) ( ) 2 N N N IDFT X k l X k l R k j          证： 1 ( ) ( ) 2 nl nl WN N x n W x n j        2 2 ( ) 2 j nl j nl N N e e x n j      2 ( )sin nl x n N  

3、共轭对称性 序列的 Fourier变换的对称性质中提到: 任意序列可表示成x、(n)和x(m)之和 x(n=x(n)+x(n) 其中:x(n)=x(-n)=1/2[x(n)+x(-m) x(m)=-x0(-n)=1/2[x(m)-x(-m)

3、共轭对称性 序列的Fourier变换的对称性质中提到： ( ) ( ) ( ) e o x n  x n  x n * * ( ) ( ) 1/ 2[ ( ) ( )] e e x n  x n  x n  x n * * ( ) ( ) 1/ 2[ ( ) ( )] o o x n  x n  x n  x n 其中： 任意序列可表示成 xe (n) 和xo (n) 之和:

x(n x(n)+x(-n c4 ( 10 (n)==[X(n)+x(-n)] x((N-n)N

1 * ( ) [ ( ) ( )] 2 e x n  x n  x n 1 * ( ) [ ( ) ( )] 2 e x n  x n  x n (( ))N x n * (( ))N x N  n

任意周期序列:x(n)=元(n)+元(m) 其中: 共轭对称分量: x(n)=x2(-n)=1/2[x(m)+x(-n) =1/2x(m)x+x(-m) 共轭反对称分量: x(m)=-x0(-n)=1/2[x(m)-x(-n) 1/2[x(0)x-x((N-n)

其中： * * ( ) ( ) 1/ 2[ ( ) ( )] o o x n  x n  x n  x n * 1/ 2[ (( )) (( )) ] N N  x n  x N  n 共轭反对称分量： * * ( ) ( ) 1/ 2[ ( ) ( )] e e x n  x n  x n  x n * 1/ 2[ (( )) (( )) ] N N  x n  x N  n 共轭对称分量： ( ) ( ) ( ) e o 任意周期序列：x n  x n  x n